Para calcular o comprimento de arco da parábola semicúbica \( y^2 = x^3 \) entre os pontos \( (1,1) \) e \( (4,8) \), utilizamos a fórmula do comprimento de arco: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primeiro, precisamos encontrar \( \frac{dy}{dx} \). A partir da equação \( y^2 = x^3 \), derivamos implicitamente: \[ 2y \frac{dy}{dx} = 3x^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2y} \] Substituindo \( y = \sqrt{x^3} \) (já que estamos considerando a parte positiva da parábola): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3}} = \frac{3x^{1/2}}{2} \] Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco: \[ L = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \left( \frac{3x^{1/2}}{2} \right)^2} \, dx = \int_{1}^{4} \sqrt{1 + \frac{9x}{4}} \, dx \] Simplificando: \[ L = \int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4 + 9x}{4}} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{4 + 9x} \, dx \] Agora, resolvendo essa integral, você encontrará o resultado que corresponde a uma das alternativas. Após realizar os cálculos, o resultado do comprimento de arco é: Alternativa correta: C) \( L = 127(80\sqrt{10} - 13\sqrt{13}) \).