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Cálculo Numérico

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Há vários métodos para resolver equações, alguns que proporcionam respostas exatas e outros que nos fornecem uma aproximação. Contudo, nos casos em que necessitamos realizar iterações, os métodos podem se diferenciar entre métodos de confinamento e métodos abertos. Uma importante diferença entre eles, é que em métodos de confinamento, o processo sempre converge, enquanto que nos métodos abertos, nem sempre há a convergência.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas métodos abertos:
a) Bisseção e o regula falsi.
b) Newton e o iteração de ponto fixo.
c) Secante e bisseção.
d) Regula falsi e iteração de ponto fixo.

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Para identificar quais métodos são considerados abertos, vamos analisar as opções apresentadas: a) Bisseção e o regula falsi - Ambos são métodos de confinamento, pois garantem a convergência ao intervalo onde a raiz está localizada. b) Newton e o iteração de ponto fixo - O método de Newton é um método aberto, assim como a iteração de ponto fixo, que não garante convergência em todos os casos. c) Secante e bisseção - O método da secante é um método aberto, mas a bisseção, como mencionado, é um método de confinamento. d) Regula falsi e iteração de ponto fixo - O regula falsi é um método de confinamento, enquanto a iteração de ponto fixo é um método aberto. Dessa forma, a alternativa que apresenta apenas métodos abertos é: b) Newton e o iteração de ponto fixo.

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No método da bisseção, podemos estipular a quantidade de iterações necessárias para se obter uma aproximação desejada da solução. Para isso, é necessário estabelecer o intervalo [a, b] em que a raiz está contida e determinar o erro que será aplicado. Supondo que para uma certa equação o intervalo de [-2; 1] contém uma raiz e um erro de 0.01, determine a quantidade de iterações seguindo a expressão:
a) 7 iterações.
b) 8 iterações.
c) 6 iterações.
d) 9 iterações.

Em alguns métodos numéricos para determinar a raiz de uma equação, é necessário encontrar um intervalo que contenha uma raiz. O processo para determinar este intervalo consiste em um simples teste de verificação. Supondo que os dois parâmetros iniciais sejam a e b, sabendo que o método que será utilizado é o da falsa-posição, classifique as V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) f(a).f(b)=0 então nada é concluído.
( ) f(a).f(b)<0 então a raiz da função, está no intervalo [a, b].
( ) f(a).f(b)>0 então devemos testar outro ponto, pois não é conclusivo.
( ) f(a).f(b)<0 então devemos testar outro ponto, pois não é conclusivo.
a) F - V - F - V.
b) V - F - V - F.
c) V - F - F - V.
d) F - V - V - F.

Na forma de Lagrange, as funções base, denotadas por L, que constituem parte da função interpoladora, são resolvidas por um certo algoritmo. Considere que temos um grupo de dados tabelados, com três pontos, e desejamos criar um polinômio interpolador de grau 2.
Dessa forma, analise as opções a seguir, identificado qual estrutura a função base L2 terá, e, em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
a) Somente a opção IV está correta.
b) Somente a opção II está correta.
c) Somente a opção I está correta.
d) Somente a opção III está correta.

As expressões algébricas que se formam a partir da união de duas ou mais variáveis e constantes, relacionadas através de operações de multiplicação, subtração ou adição, recebem o nome de polinômios.
Dado o polinômio P(x) = 0,6x² + 0,9x + 1, determine seu valor para x =0,4:
A 2,104.
B 1,456.
C 1,324.
D 1,6.

O Método de Newton-Raphson tem como ideia geométrica a utilização de retas tangentes que convergem para uma raiz. Além disso, podemos estabelecer outras colocações conceituais ou definições para este método. Sobre as colocações corretas sobre o Método de Newton-Raphson, analise as sentenças a seguir:
Assinale a alternativa CORRETA:
I- Tem como alicerce a derivada das funções.
II- O método consiste em determinar raízes de funções por um processo iterativo.
III- A função deve ser contínua para que o método funcione.
IV- A função converge sobre qualquer hipótese inicial.
a) Somente a sentença I está correta.
b) As sentenças I, II e III estão corretas.
c) As sentenças I e IV estão corretas.
d) As sentenças II e IV estão corretas.

A matemática fornece métodos formais que permitem a determinação exata das raízes de uma função em diversos casos. Os métodos mais conhecidos permitem a determinação das raízes de polinômios de até quarto grau, ou grau maior em certas condições. Em muitas situações, a resolução matemática necessita de intuição para que elas sejam transformadas em casos resolvíveis através dos métodos conhecidos. Sobre os zeros de funções, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) Chamamos de zero de uma função f ao ponto f(0).
( ) Zero de uma função e raiz de uma função são nomes diferentes para o mesmo conceito.
( ) Toda função real possui pelo menos um zero.
( ) Toda função polinomial real tem, pelo menos, um zero.
a) V - F - V - V.
b) F - V - F - F.
c) F - F - V - F.
d) V - V - F - V.

Uma das aplicações da interpolação é a de aproximação de funções complexas para funções mais fáceis. Suponha que tenhamos uma função e que seja muito mais difícil avaliá-la da forma em que se encontra.
Pode-se, então, escolher alguns valores referência da função antiga e tentar interpolar estes dados para construir uma função mais fácil. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o significado de interpolar:
a) É um modo de utilizar a regra dos trapézios quando o número de dados é elevado.
b) Resolver a integral quando o intervalo for constante em relação à variável.
c) Aproximar uma função por meio de uma outra função, geralmente polinomial.
d) Representar as equações lineares no plano cartesiano quando as incógnitas se acham igualmente relacionadas à mesma função.

Estudamos vários métodos iterativos para determinarmos a raiz de uma função f em um dado intervalo [a, b]. Cada um deles tem vantagens e desvantagens que ficam evidenciadas ao tentarmos aplicá-los numa situação-problema. Sobre as diferenças entre estes métodos, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( ) Para aplicar o Método da Bissecção, é necessário que conheçamos as derivadas de f.
( ) Os Métodos Bissecção e Falsa Posição possuem convergência, caso a função seja contínua e o Teorema de Bolzano seja verificado.
( ) O Método das Secantes pode ser aplicado, independentemente se a raiz estiver contida em um certo intervalo.
( ) De todos os métodos estudados, o de Newton-Raphson é o único que sempre converge.
a) V - F - F - V.
b) V - F - V - F.
c) F - V - F - F.
d) F - V - V - F.

Para resolver equações por meio numérico, há dois grupos de métodos que podemos utilizar: métodos de confinamento e métodos abertos.
Um destes métodos, tem como ideia identificar um intervalo que consta uma solução, enquanto o outro, admite-se uma estimativa inicial para a solução. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta apenas métodos de confinamento:
a) Newton e o iteração de ponto fixo.
b) Regula falsi e iteração de ponto fixo.
c) Bisseção e o regula falsi.
d) Secante e bisseção.