Para determinar a área entre as curvas \(y = x^2\) e \(y = x\), precisamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas duas funções. Igualando as duas equações: \[ x^2 = x \] Isso nos dá: \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] Portanto, os pontos de interseção são \(x = 0\) e \(x = 1\). Agora, a área entre as curvas de \(x = 0\) a \(x = 1\) é dada pela integral da diferença das funções: \[ \text{Área} = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] Calculando a integral: \[ \int (x - x^2) \, dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right] - \left[ \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right] = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \] Portanto, a área entre as curvas é \(\frac{1}{6}\). Agora, analisando as opções: I- A área entre as curvas é \(1/3\). (Falso) II- A área entre as curvas é \(1/2\). (Falso) III- A área entre as curvas é \(1/6\). (Verdadeiro) IV- A área entre as curvas é \(1/4\). (Falso) A única opção correta é a III. Portanto, a resposta correta é: A Somente a opção III está correta.