As curvas podem ser vistas na seguinte figura:

As curvas \(f_1(x)=x^2\) e \(f_2(x)=2-x\) se cruzam nos seguintes pontos:

\(\Longrightarrow x^2 = 2-x\)

\(\Longrightarrow x^2+x-2=0\)     \(\left \{ \begin{matrix} a=1 \\ b=1 \\ c=-2 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot1 \cdot(-2)} \over 2 \cdot 1}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{9} \over 2}\)       \(\left \{ \begin{matrix} x_1 = 1 \\ x_2 = -2 \end{matrix} \right.\)

As curvas \(y_1=x^2\), \(y_2=2-x\) e \(x=0\) formam duas áreas: \(A_1\) (\(-2 \le x \le 0\)) e \(A_2\) (\(0 \le x \le 1\)). Seus valores são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A_1 = \int \limits_{-2}^0 \Big [ f_2(x) - f_1(x) \Big ]dx \\ A_2 = \int \limits_{0}^1 \Big [ f_2(x) - f_1(x) \Big ]dx \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A_1 = \int \limits_{-2}^0 \Big [ 2-x-x^2 \Big ]dx \\ A_2 = \int \limits_{0}^1 \Big [ 2-x-x^2 \Big ]dx \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A_1 = \Big [ 2x-{1 \over 2}x^2-{1 \over 3}x^3 \Big ] \bigg |_{-2}^0 \\ A_2 = \Big [ 2x-{1 \over 2}x^2-{1 \over 3}x^3 \Big ] \bigg |_0^1 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A_1 = 0- \Big [ 2\cdot (-2)-{1 \over 2}(-2)^2-{1 \over 3}(-2)^3 \Big ] \\ A_2 = \Big [ 2\cdot 1-{1 \over 2}(1)^2-{1 \over 3}(1)^3 \Big ] -0 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A_1 = {20 \over 6} \\ A_2 = {7 \over 6} \end{matrix} \right.\)

Como visto no gráfico, a área \(A_2\) é menor do que \(A_1\). Portanto, a resposta do exercício é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ A_2 = {7 \over 6} $}\)