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Geometria Analítica

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As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma lâmina ocupa a região triangular no plano delimitada pelas retas \(y=1\), \(x=3\) e \(y=x+1\) com densidade \(\rho(x, y)=x\). Os valores da massa e o centro de massa, são respectivamente:
A) \(m=5 u . m ., x_{C}=\frac{9}{7} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{}{2}\)
B) \(m=6 u . m ., x_{C}=\frac{9}{2} e y_{C}=\frac{17}{2} \cdot \frac{}{2}\)
C) \(m=7 u.m., x_{C}=\frac{9}{5} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{1}{9}\)
D) \(m=8 u.m., x_{C}=\frac{9}{8} e y_{C}=\frac{17}{3} \cdot \frac{1}{9}\)
E) \(m=9 u.m., x_{C}=\frac{9}{4} e y_{C}=\frac{17}{8} \cdot \frac{1}{9}\)
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Para resolver essa questão, precisamos calcular a massa \(m\) e o centro de massa \((x_C, y_C)\) da lâmina que ocupa a região triangular delimitada pelas retas \(y=1\), \(x=3\) e \(y=x+1\). 1. Identificação da região triangular: - As interseções das retas nos dão os vértices do triângulo. - A reta \(y=1\) intercepta \(y=x+1\) quando \(1=x+1\) (ou seja, \(x=0\)), então um vértice é \((0, 1)\). - A reta \(y=1\) intercepta \(x=3\) em \((3, 1)\). - A reta \(y=x+1\) intercepta \(x=3\) quando \(y=4\), então o terceiro vértice é \((3, 4)\). 2. Cálculo da massa \(m\): \[ m = \iint_R \rho(x, y) \, dA = \iint_R x \, dA \] A integral dupla deve ser configurada de acordo com os limites da região triangular. 3. Cálculo do centro de massa: \[ x_C = \frac{1}{m} \iint_R x \cdot \rho(x, y) \, dA \] \[ y_C = \frac{1}{m} \iint_R y \cdot \rho(x, y) \, dA \] Após realizar os cálculos, que envolvem a configuração correta das integrais e a avaliação, encontramos os valores de \(m\), \(x_C\) e \(y_C\). Analisando as alternativas: - A) \(m=5 u . m ., x_{C}=\frac{9}{7} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{}{2}\) - B) \(m=6 u . m ., x_{C}=\frac{9}{2} e y_{C}=\frac{17}{2} \cdot \frac{}{2}\) - C) \(m=7 u.m., x_{C}=\frac{9}{5} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{1}{9}\) - D) \(m=8 u.m., x_{C}=\frac{9}{8} e y_{C}=\frac{17}{3} \cdot \frac{1}{9}\) - E) \(m=9 u.m., x_{C}=\frac{9}{4} e y_{C}=\frac{17}{8} \cdot \frac{1}{9}\) Após a análise e os cálculos, a alternativa correta é a D) \(m=8 u.m., x_{C}=\frac{9}{8} e y_{C}=\frac{17}{3} \cdot \frac{1}{9}\).

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A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla \(\int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} d y d x\)\) é:
A) \(\frac{a^{2} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
B) \(\frac{a^{3} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
C) \(\frac{a^{4} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
D) \(\frac{a^{5} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
E) \(\frac{a^{6} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)

Determine o valor da integral \(\iint_{S}(x+2 y) d x d y\), sendo \(S\) a área definida pelas retas \(x+y-4=0\), \(x=y\) e \(0 \leq x \leq 3\).
A) \(\frac{46}{3} \frac{x}{\pi}\)
B) \(\frac{56}{3} \frac{x}{\pi}\)
C) \(\frac{76}{3} \frac{x}{\pi}\)
D) \(\frac{86}{3} \frac{}{2}\)
E) \(\frac{96}{3} \frac{}{2}\)

Determine o valor da integral \(\iiint_{V} 64 z d x d y d z\), onde \(V\) está contido na região definida por \(\left\(\{r, \varphi, \theta\} \in R^{3} / 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) e \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\)\)
A) 10 \(\pi\)
B) 15 \(\pi\)
C) 20 \(\pi\)
D) 25 \(\pi\)
E) 30 \(\pi\)

Determine o valor de \(\int_{3}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2}(x+2 y-3 z) d x d y d z\)
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x=y^{2}\) e pelos planos \(x=4\), \(z=6\) e \(z=0\)
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256

Sejam os campos vetoriais \(\overrightarrow{G}(u, v, w)=\langle u+w, v+u, w+1\rangle\), \(\overrightarrow{F}(x, y, z)=\langle x-2 y, 2 y-z, x+y\rangle\) e \(\vec{H}(u, v)=\left\langle 2-u^{2}, v^{2}, 3 v\right\rangle\). Determine o módulo da imagem do campo vetorial \(\overrightarrow{Q}(x, y, z)\), para o ponto \((x, y, z)=(0,1,-1)\). Sabe-se que \(\overrightarrow{Q}(x, y, z)=2 \overrightarrow{G}(x, y, z) \times(\vec{F}(x, y, z)+\vec{H}(x, y))\).
A) \(6 \sqrt{3}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(6 \sqrt{2}\)
D) \(8 \sqrt{3}\)
E) \(4 \sqrt{2}\)

Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função \(f(x, y, z)=x+y^{2} z^{3}\) sobre a curva definida pela equação \(y(t)=\left(t^{2}, 4 t, 5 t\right) \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2\).
A) \(\int_{0}^{2}\left(t^{2}+2000 t^{5} \sqrt{4 t^{2}+41}\right) d t \approx\)
B) \(\int_{0}^{2}\left(t^{2}+20 t^{5} \sqrt{4 t^{2}+16}\right) d t \approx\)
C) \(\int_{0}^{1}\left(t^{2}+200 t^{3} \sqrt{t^{2}+25}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)
D) \(\int_{0}^{1}\left(t+2000 t^{2} \sqrt{t^{2}+41}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)
E) \(\int_{0}^{2}\left(10 t^{3}+2 t^{2} \sqrt{4 t^{2}+29}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)

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