Para resolver a integral dupla dada, primeiro precisamos entender a região de integração e a função integranda. A função integranda é \((x^{2}+y^{2})^{3/2}\) e a região de integração é definida pelos limites de \(x\) e \(y\). Convertendo para coordenadas polares, temos: - \(x = r \cos(\theta)\) - \(y = r \sin(\theta)\) - \(dA = r \, dr \, d\theta\) A função integranda se torna: \[ (x^{2} + y^{2})^{3/2} = (r^{2})^{3/2} = r^{3} \] Os limites de integração em coordenadas polares para a região descrita são: - \(r\) varia de \(0\) a \(a\) - \(\theta\) varia de \(0\) a \(\frac{\pi}{2}\) (considerando apenas o primeiro quadrante) Assim, a integral dupla em coordenadas polares fica: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{a} r^{3} \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{a} r^{4} \, dr \] Calculando a integral em \(r\): \[ \int_{0}^{a} r^{4} \, dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{a} = \frac{a^{5}}{5} \] Agora, a integral em \(\theta\): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2} \] Portanto, a integral total é: \[ \frac{\pi}{2} \cdot \frac{a^{5}}{5} = \frac{a^{5} \pi}{10} \] No entanto, ao observar as alternativas, parece que a integral foi formulada de maneira diferente. Vamos verificar as opções: A) \(\frac{a^{2} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\) B) \(\frac{a^{3} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\) C) \(\frac{a^{4} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\) D) \(\frac{a^{5} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\) E) \(\frac{a^{6} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\) A alternativa que mais se aproxima do resultado que encontramos, considerando a forma como as opções estão apresentadas, é a D) \(\frac{a^{5} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\). Portanto, a resposta correta é: D) \(\frac{a^{5} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\).