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A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla \(\int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} d y d x\)\) é:
A) \(\frac{a^{2} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
B) \(\frac{a^{3} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
C) \(\frac{a^{4} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
D) \(\frac{a^{5} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
E) \(\frac{a^{6} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)

Determine o valor da integral \(\iint_{S}(x+2 y) d x d y\), sendo \(S\) a área definida pelas retas \(x+y-4=0\), \(x=y\) e \(0 \leq x \leq 3\).
A) \(\frac{46}{3} \frac{x}{\pi}\)
B) \(\frac{56}{3} \frac{x}{\pi}\)
C) \(\frac{76}{3} \frac{x}{\pi}\)
D) \(\frac{86}{3} \frac{}{2}\)
E) \(\frac{96}{3} \frac{}{2}\)

As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma lâmina ocupa a região triangular no plano delimitada pelas retas \(y=1\), \(x=3\) e \(y=x+1\) com densidade \(\rho(x, y)=x\). Os valores da massa e o centro de massa, são respectivamente:
A) \(m=5 u . m ., x_{C}=\frac{9}{7} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{}{2}\)
B) \(m=6 u . m ., x_{C}=\frac{9}{2} e y_{C}=\frac{17}{2} \cdot \frac{}{2}\)
C) \(m=7 u.m., x_{C}=\frac{9}{5} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{1}{9}\)
D) \(m=8 u.m., x_{C}=\frac{9}{8} e y_{C}=\frac{17}{3} \cdot \frac{1}{9}\)
E) \(m=9 u.m., x_{C}=\frac{9}{4} e y_{C}=\frac{17}{8} \cdot \frac{1}{9}\)

Determine o valor da integral \(\iiint_{V} 64 z d x d y d z\), onde \(V\) está contido na região definida por \(\left\(\{r, \varphi, \theta\} \in R^{3} / 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) e \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\)\)
A) 10 \(\pi\)
B) 15 \(\pi\)
C) 20 \(\pi\)
D) 25 \(\pi\)
E) 30 \(\pi\)

Determine o valor de \(\int_{3}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2}(x+2 y-3 z) d x d y d z\)
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x=y^{2}\) e pelos planos \(x=4\), \(z=6\) e \(z=0\)
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256

Sejam os campos vetoriais \(\overrightarrow{G}(u, v, w)=\langle u+w, v+u, w+1\rangle\), \(\overrightarrow{F}(x, y, z)=\langle x-2 y, 2 y-z, x+y\rangle\) e \(\vec{H}(u, v)=\left\langle 2-u^{2}, v^{2}, 3 v\right\rangle\). Determine o módulo da imagem do campo vetorial \(\overrightarrow{Q}(x, y, z)\), para o ponto \((x, y, z)=(0,1,-1)\). Sabe-se que \(\overrightarrow{Q}(x, y, z)=2 \overrightarrow{G}(x, y, z) \times(\vec{F}(x, y, z)+\vec{H}(x, y))\).
A) \(6 \sqrt{3}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(6 \sqrt{2}\)
D) \(8 \sqrt{3}\)
E) \(4 \sqrt{2}\)

Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função \(f(x, y, z)=x+y^{2} z^{3}\) sobre a curva definida pela equação \(y(t)=\left(t^{2}, 4 t, 5 t\right) \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2\).
A) \(\int_{0}^{2}\left(t^{2}+2000 t^{5} \sqrt{4 t^{2}+41}\right) d t \approx\)
B) \(\int_{0}^{2}\left(t^{2}+20 t^{5} \sqrt{4 t^{2}+16}\right) d t \approx\)
C) \(\int_{0}^{1}\left(t^{2}+200 t^{3} \sqrt{t^{2}+25}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)
D) \(\int_{0}^{1}\left(t+2000 t^{2} \sqrt{t^{2}+41}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)
E) \(\int_{0}^{2}\left(10 t^{3}+2 t^{2} \sqrt{4 t^{2}+29}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)

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Questões resolvidas

A integração dupla não iterada é usada quando a função integranda é expressa em coordenadas polares ou outras coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o valor da área dada pela integral dupla \(\int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\(\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2} d y d x\)\) é:
A) \(\frac{a^{2} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
B) \(\frac{a^{3} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
C) \(\frac{a^{4} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
D) \(\frac{a^{5} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)
E) \(\frac{a^{6} \pi}{5} \cdot \frac{x}{\pi}\)

Determine o valor da integral \(\iint_{S}(x+2 y) d x d y\), sendo \(S\) a área definida pelas retas \(x+y-4=0\), \(x=y\) e \(0 \leq x \leq 3\).
A) \(\frac{46}{3} \frac{x}{\pi}\)
B) \(\frac{56}{3} \frac{x}{\pi}\)
C) \(\frac{76}{3} \frac{x}{\pi}\)
D) \(\frac{86}{3} \frac{}{2}\)
E) \(\frac{96}{3} \frac{}{2}\)

As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma lâmina ocupa a região triangular no plano delimitada pelas retas \(y=1\), \(x=3\) e \(y=x+1\) com densidade \(\rho(x, y)=x\). Os valores da massa e o centro de massa, são respectivamente:
A) \(m=5 u . m ., x_{C}=\frac{9}{7} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{}{2}\)
B) \(m=6 u . m ., x_{C}=\frac{9}{2} e y_{C}=\frac{17}{2} \cdot \frac{}{2}\)
C) \(m=7 u.m., x_{C}=\frac{9}{5} e y_{C}=\frac{17}{9} \cdot \frac{1}{9}\)
D) \(m=8 u.m., x_{C}=\frac{9}{8} e y_{C}=\frac{17}{3} \cdot \frac{1}{9}\)
E) \(m=9 u.m., x_{C}=\frac{9}{4} e y_{C}=\frac{17}{8} \cdot \frac{1}{9}\)

Determine o valor da integral \(\iiint_{V} 64 z d x d y d z\), onde \(V\) está contido na região definida por \(\left\(\{r, \varphi, \theta\} \in R^{3} / 1 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\) e \(0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\right\)\)
A) 10 \(\pi\)
B) 15 \(\pi\)
C) 20 \(\pi\)
D) 25 \(\pi\)
E) 30 \(\pi\)

Determine o valor de \(\int_{3}^{1} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2}(x+2 y-3 z) d x d y d z\)
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70

Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x=y^{2}\) e pelos planos \(x=4\), \(z=6\) e \(z=0\)
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
E) 256

Sejam os campos vetoriais \(\overrightarrow{G}(u, v, w)=\langle u+w, v+u, w+1\rangle\), \(\overrightarrow{F}(x, y, z)=\langle x-2 y, 2 y-z, x+y\rangle\) e \(\vec{H}(u, v)=\left\langle 2-u^{2}, v^{2}, 3 v\right\rangle\). Determine o módulo da imagem do campo vetorial \(\overrightarrow{Q}(x, y, z)\), para o ponto \((x, y, z)=(0,1,-1)\). Sabe-se que \(\overrightarrow{Q}(x, y, z)=2 \overrightarrow{G}(x, y, z) \times(\vec{F}(x, y, z)+\vec{H}(x, y))\).
A) \(6 \sqrt{3}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(6 \sqrt{2}\)
D) \(8 \sqrt{3}\)
E) \(4 \sqrt{2}\)

Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função \(f(x, y, z)=x+y^{2} z^{3}\) sobre a curva definida pela equação \(y(t)=\left(t^{2}, 4 t, 5 t\right) \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2\).
A) \(\int_{0}^{2}\left(t^{2}+2000 t^{5} \sqrt{4 t^{2}+41}\right) d t \approx\)
B) \(\int_{0}^{2}\left(t^{2}+20 t^{5} \sqrt{4 t^{2}+16}\right) d t \approx\)
C) \(\int_{0}^{1}\left(t^{2}+200 t^{3} \sqrt{t^{2}+25}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)
D) \(\int_{0}^{1}\left(t+2000 t^{2} \sqrt{t^{2}+41}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)
E) \(\int_{0}^{2}\left(10 t^{3}+2 t^{2} \sqrt{4 t^{2}+29}\right) d t \stackrel{*}{\sim}\)

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Código da questão: 37551 O sistema de coordenadas cartesianas ou plano cartesiano é um método criado por René Descartes. O plano cartesiano se trat...

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Tamanho da fonte Questão 5 Sem resposta Um pesquisador está tentando calcular o volume de um recipiente côncavo usa

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A
B
C
D
E
A
B
C
1 Marcar para revisão
A integração dupla não iterada é usada quando a função
integranda é expressa em coordenadas polares ou outras
coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o
valor da área dada pela integral dupla 
é:
.a2π
5
.a3π
5
.a4π
5
.a5π
5
.a6π
5
2 Marcar para revisão
Determine o valor da integral  , sendo S a
área definida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x≤ 3. 
∬
S
 (x + 2y)dx dy
46
3
56
3
76
3
00
hora
: 19
min
: 25
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1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
SM2 Cálculo De Múltiplas Variáveis
01/06/2025, 20:17 estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/ 1/6
D
E
A
B
C
D
E
A
B
86
3
96
3
3 Marcar para revisão
A integração dupla não iterada é usada quando a função
integranda é expressa em coordenadas polares ou outras
coordenadas curvilíneas. Utilizando coordenadas polares o
valor da área dada pela integral dupla 
é:
.a2π
5
.a3π
5
.a4π
5
.a5π
5
.a6π
5
4 Marcar para revisão
As integrais duplas são uma das ferramentas mais poderosas
da matemática, e são usadas em uma variedade de campos,
desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Uma
lâmina ocupa a região triangular no plano delimitada pelas
retas   e  com densidade .
Os valores da massa e o centro de massa, são
respectivamente:
y = 1,x = 3 y = x + 1 ρ(x, y) = x
m = 5 u.m. ,  xC =  e yC = .9
7
17
9
m = 6 u.m. ,  xC =  e yC = .9
2
17
2
01/06/2025, 20:17 estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/ 2/6
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
m = 7 u.m. ,  xC =  e yC = .9
5
17
9
m = 8 u.m. ,  xC =  e yC = .9
8
17
3
m = 9 u.m. ,  xC =  e yC = .9
4
17
8
5 Marcar para revisão
Determine o valor da integral , onde V está
contido na região definida por 
.  
∭
V
 64z dxdydz
{(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤  e 0 ≤ φ ≤ }π
4
π
4
10π
15π
20π
25π
30π
6 Marcar para revisão
Determine o valor de 
1
∫
3
1
∫
−1
2
∫
0
 (x + 2y − 3z)dxdydz
30
40
50
01/06/2025, 20:17 estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/ 3/6
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
60
70
7 Marcar para revisão
Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico
 e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.x = y2
16
32
64
128
256
8 Marcar para revisão
Sejam os campos vetoriais
, 
 e
. Determine o módulo da imagem
do campo vetorial , para o ponto (x,y,z) = (0,1, - 1).
Sabe-se que
.
→
G (u, v,w) = ⟨u + w, v + u,w + 1⟩
→
F (x, y, z) = ⟨x − 2y, 2y − z,x + y⟩
→
H (u, v) = ⟨2 − u2, v2, 3v⟩
→
Q (x, y, z)
→
Q (x, y, z) = 2
→
G (x, y, z) × (
→
F (x, y, z) +
→
H (x, y))
6√3
√3
6√2
01/06/2025, 20:17 estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/ 4/6
D
E
A
B
C
D
E
A
B
8√3
4√2
9 Marcar para revisão
Sejam os campos vetoriais
, 
 e
. Determine o módulo da imagem
do campo vetorial , para o ponto (x,y,z) = (0,1, - 1).
Sabe-se que
.
→
G (u, v,w) = ⟨u + w, v + u,w + 1⟩
→
F (x, y, z) = ⟨x − 2y, 2y − z,x + y⟩
→
H (u, v) = ⟨2 − u2, v2, 3v⟩
→
Q (x, y, z)
→
Q (x, y, z) = 2
→
G (x, y, z) × (
→
F (x, y, z) +
→
H (x, y))
6√3
√3
6√2
8√3
4√2
10 Marcar para revisão
Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da
função  sobre a curva definida pela
equação  com  .
f(x, y, z) = x + y2z3
y(t) = (t2, 4t, 5t) 0 ≤ t ≤ 2
∫ 2
0 (t2 + 2000t5√4t2 + 41)dt
∫ 2
0 (t2 + 20t5√4t2 + 16)dt
01/06/2025, 20:17 estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/ 5/6
C
D
E
∫ 1
0 (t2 + 200t3√t2 + 25)dt
∫ 1
0 (t + 2000t2√t2 + 41)dt
∫ 2
0 (10t3 + 2t2√4t2 + 29)dt
01/06/2025, 20:17 estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/
https://estacio.saladeavaliacoes.com.br/prova/683cd8685714ced75e1d1cf6/ 6/6

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