Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x=y^{2}\) e pelos planos \(x=4\), \(z=6\) e \(z=0\) A) 16 B) 32 C) 64 D) 128 E) 256

Para determinar o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico \(x = y^2\) e pelos planos \(x = 4\), \(z = 6\) e \(z = 0\), vamos seguir os passos: 1. Identificar os limites: O cilindro parabólico \(x = y^2\) se estende até o plano \(x = 4\). Portanto, temos \(y^2 \leq 4\), o que implica que \(-2 \leq y \leq 2\). 2. Limites de \(z\): O sólido está limitado entre \(z = 0\) e \(z = 6\). 3. Volume: O volume pode ser calculado usando a integral dupla. A fórmula para o volume \(V\) é: \[ V = \int_{z=0}^{6} \int_{y=-2}^{2} (4 - y^2) \, dy \, dz \] 4. Cálculo da integral: - Primeiro, integramos em relação a \(y\): \[ \int_{-2}^{2} (4 - y^2) \, dy = \left[ 4y - \frac{y^3}{3} \right]_{-2}^{2} \] - Calculando os limites: \[ = \left( 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \] \[ = \left( 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3} \] 5. Integrando em relação a \(z\): \[ V = \int_{0}^{6} \frac{32}{3} \, dz = \frac{32}{3} \cdot 6 = \frac{192}{3} = 64 \] Portanto, o volume do sólido é \(64\). A alternativa correta é: C) 64.