Para expressar a integral dada em coordenadas cilíndricas, precisamos lembrar que em coordenadas cilíndricas temos as seguintes relações: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - \( z = z \) - O elemento de volume \( dV = r \, dr \, d\theta \, dz \) A função que estamos integrando é \( \sqrt{x^2 + y^2} \), que em coordenadas cilíndricas se torna \( r \). Agora, vamos analisar os limites de integração: 1. Para \( z \), os limites são de \( 0 \) a \( 6 \). 2. Para \( y \), temos \( 0 \) a \( \sqrt{4 - x} \). Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em \( 0 \) a \( \sqrt{4 - r^2 \cos^2(\theta)} \). 3. Para \( x \), temos \( 0 \) a \( 2 \). Em coordenadas cilíndricas, isso se traduz em \( 0 \) a \( 2 \). No entanto, a região de integração em coordenadas cartesianas é um quadrante do círculo de raio \( 2 \) (já que \( y \) é limitado por \( \sqrt{4 - x^2} \)). Portanto, em coordenadas cilíndricas, \( r \) varia de \( 0 \) a \( 2 \) e \( \theta \) varia de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \). Assim, a integral tripla em coordenadas cilíndricas fica: \[ \int_{0}^{6} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} r \cdot r \, dr \, d\theta \, dz \] Agora, vamos calcular a integral: 1. A integral em \( r \): \[ \int_{0}^{2} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} \] 2. A integral em \( \theta \): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2} \] 3. A integral em \( z \): \[ \int_{0}^{6} dz = 6 \] Agora, juntando tudo: \[ \text{Integral total} = 6 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{8}{3} = 8\pi \] Portanto, a integral original expressa em coordenadas cilíndricas e calculada resulta em: \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x}} \int_{0}^{6} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dz \, dy \, dx = 8\pi \]