Calcule $\iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} d V$, onde E é delimitado pela esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ no primeiro octante.

Para resolver a integral tripla \(\iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} dV\) onde \(E\) é a região delimitada pela esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\) no primeiro octante, é conveniente usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos: - \(x = \rho \sin \phi \cos \theta\) - \(y = \rho \sin \phi \sin \theta\) - \(z = \rho \cos \phi\) onde: - \(\rho\) é a distância do ponto à origem, - \(\phi\) é o ângulo polar (medido a partir do eixo \(z\)), - \(\theta\) é o ângulo azimutal (medido no plano \(xy\)). Os limites para a esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\) são: - \(0 \leq \rho \leq 3\) (raio da esfera), - \(0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}\) (primeiro octante), - \(0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\) (primeiro octante). O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por \(dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta\). A função a ser integrada se torna: \[ e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} = e^{\rho} \] Portanto, a integral se transforma em: \[ \iiint_{E} e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} dV = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{3} e^{\rho} \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] Agora, podemos calcular a integral em três partes: 1. Integral em \(\rho\): \[ \int_{0}^{3} e^{\rho} \rho^2 \, d\rho \] Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando uma tabela de integrais. 2. Integral em \(\phi\): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \phi \, d\phi = 1 \] 3. Integral em \(\theta\): \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \frac{\pi}{2} \] Assim, a integral total será o produto das três integrais. O resultado final dependerá do cálculo da integral em \(\rho\). Portanto, a resposta final é: \[ \frac{\pi}{2} \cdot 1 \cdot \int_{0}^{3} e^{\rho} \rho^2 \, d\rho \] Para obter o valor exato, você precisaria calcular a integral em \(\rho\).