Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ como da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$

Para determinar o volume do sólido que está dentro do cilindro \(x^{2}+y^{2}=1\) e da esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\), podemos usar coordenadas cilíndricas. 1. Identificar os limites: - O cilindro \(x^{2}+y^{2}=1\) tem raio 1. - A esfera \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\) tem raio 2. 2. Coordenadas cilíndricas: - Em coordenadas cilíndricas, temos \(x = r \cos \theta\), \(y = r \sin \theta\) e \(z = z\). - O cilindro se torna \(r = 1\) e a esfera se torna \(r^{2} + z^{2} = 4\). 3. Limites de integração: - Para \(r\), temos \(0 \leq r \leq 1\). - Para \(\theta\), temos \(0 \leq \theta < 2\pi\). - Para \(z\), a partir da equação da esfera, temos \(z = \sqrt{4 - r^{2}}\) e \(z = -\sqrt{4 - r^{2}}\). Portanto, os limites para \(z\) são \(-\sqrt{4 - r^{2}} \leq z \leq \sqrt{4 - r^{2}}\). 4. Volume: O volume \(V\) pode ser calculado pela integral tripla: \[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{-\sqrt{4 - r^{2}}}^{\sqrt{4 - r^{2}}} r \, dz \, dr \, d\theta \] 5. Cálculo da integral: - A integral em \(z\) é: \[ \int_{-\sqrt{4 - r^{2}}}^{\sqrt{4 - r^{2}}} r \, dz = r \left[ z \right]_{-\sqrt{4 - r^{2}}}^{\sqrt{4 - r^{2}}} = r \left( 2\sqrt{4 - r^{2}} \right) = 2r\sqrt{4 - r^{2}} \] - Agora, substituímos na integral: \[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 2r\sqrt{4 - r^{2}} \, dr \, d\theta \] - A integral em \(\theta\) é simples: \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \] - Agora, precisamos calcular: \[ V = 2\pi \int_{0}^{1} 2r\sqrt{4 - r^{2}} \, dr = 4\pi \int_{0}^{1} r\sqrt{4 - r^{2}} \, dr \] 6. Substituição: - Usamos a substituição \(u = 4 - r^{2}\), então \(du = -2r \, dr\) ou \(dr = -\frac{du}{2r}\). - Quando \(r = 0\), \(u = 4\) e quando \(r = 1\), \(u = 3\). - A integral se torna: \[ \int_{4}^{3} -\frac{1}{2} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{4}^{3} = \frac{1}{3} \left( 3\sqrt{3} - 4\sqrt{4} \right) = \frac{1}{3} (3\sqrt{3} - 8) \] 7. Volume final: \[ V = 4\pi \cdot \frac{1}{3} (3\sqrt{3} - 8) = \frac{4\pi}{3} (3\sqrt{3} - 8) \] Portanto, o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro quanto da esfera é: \[ V = \frac{4\pi}{3} (3\sqrt{3} - 8) \]