Calcule o volume do sólido $S$ limitado pelo parabolóide $z=1-\left(x^{2}+y^{2}\right)$ e o plano $z=0$.

Para calcular o volume do sólido \( S \) limitado pelo parabolóide \( z = 1 - (x^2 + y^2) \) e o plano \( z = 0 \), podemos usar coordenadas cilíndricas. 1. Identifique os limites: O parabolóide intercepta o plano \( z = 0 \) quando \( 1 - (x^2 + y^2) = 0 \), ou seja, \( x^2 + y^2 = 1 \). Isso define um círculo de raio 1 no plano \( xy \). 2. Coordenadas cilíndricas: Em coordenadas cilíndricas, temos \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) e \( z = z \). O volume pode ser expresso como: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{1 - r^2} r \, dz \, dr \, d\theta \] 3. Calcule a integral: - Primeiro, integre em relação a \( z \): \[ \int_0^{1 - r^2} r \, dz = r(1 - r^2) = r - r^3 \] - Agora, integre em relação a \( r \): \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r - r^3) \, dr \, d\theta \] - A integral em \( r \): \[ \int_0^1 (r - r^3) \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \] - Agora, integre em relação a \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} \] 4. Resultado final: O volume do sólido \( S \) é: \[ V = \frac{\pi}{2} \]