Calcule $\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V$, onde E é a região contida dentro do cilindro $x^{2}+y^{2}=16$ e entre os planos $z=-5$ e $z=4$.

Para calcular a integral tripla \(\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dV\) sobre a região \(E\) contida dentro do cilindro \(x^{2}+y^{2}=16\) e entre os planos \(z=-5\) e \(z=4\), podemos usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos: - \(x = r \cos \theta\) - \(y = r \sin \theta\) - \(z = z\) - \(dV = r \, dr \, d\theta \, dz\) A função \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) se torna \(\sqrt{r^{2}} = r\). A região \(E\) é definida por: - O cilindro \(x^{2}+y^{2}=16\) implica que \(r\) varia de \(0\) a \(4\) (já que \(\sqrt{16} = 4\)). - Os planos \(z=-5\) e \(z=4\) indicam que \(z\) varia de \(-5\) a \(4\). - O ângulo \(\theta\) varia de \(0\) a \(2\pi\). Assim, a integral se torna: \[ \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{4} \int_{-5}^{4} r \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \] Isso simplifica para: \[ = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{4} r^{2} \, dr \int_{-5}^{4} dz \] Calculando a integral em \(z\): \[ \int_{-5}^{4} dz = 4 - (-5) = 9 \] Agora, a integral em \(r\): \[ \int_{0}^{4} r^{2} \, dr = \left[ \frac{r^{3}}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^{3}}{3} = \frac{64}{3} \] Por fim, a integral em \(\theta\): \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Agora, juntando tudo: \[ \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dV = 2\pi \cdot \frac{64}{3} \cdot 9 = 2\pi \cdot \frac{576}{3} = 384\pi \] Portanto, o resultado da integral é: \[ \boxed{384\pi} \]