Determine o volume e o centróide do sólido E que está acima do cone $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ e abaixo da esfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.

Para determinar o volume e o centróide do sólido \( E \) que está acima do cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) e abaixo da esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \), podemos usar coordenadas cilíndricas. 1. Volume: - Em coordenadas cilíndricas, temos \( x = r \cos \theta \), \( y = r \sin \theta \) e \( z = z \). - O cone se torna \( z = r \) e a esfera se torna \( r^2 + z^2 = 1 \). - O volume \( V \) pode ser encontrado pela integral tripla: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_r^{\sqrt{1 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta \] - A integral em \( z \) vai de \( z = r \) até \( z = \sqrt{1 - r^2} \). - Resolvendo a integral, obtemos: \[ V = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} r(\sqrt{1 - r^2} - r) \, dr \] 2. Centróide: - O centróide \( ( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} ) \) é dado por: \[ \bar{x} = \frac{1}{V} \int_E x \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{V} \int_E y \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{V} \int_E z \, dV \] - Devido à simetria do sólido, temos \( \bar{x} = 0 \) e \( \bar{y} = 0 \). - Para \( \bar{z} \): \[ \bar{z} = \frac{1}{V} \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_r^{\sqrt{1 - r^2}} z r \, dz \, dr \, d\theta \] Ao final, você deve calcular as integrais para obter o volume e o centróide. Se precisar de mais detalhes sobre como resolver as integrais, é só avisar!