Calcule $\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V$, onde E é a bola unitária $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1$.

Para calcular a integral tripla \(\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V\) sobre a bola unitária \(E: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\), é mais fácil usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, temos: - \(x = \rho \sin \phi \cos \theta\) - \(y = \rho \sin \phi \sin \theta\) - \(z = \rho \cos \phi\) onde \(\rho\) é a distância do ponto à origem, \(\phi\) é o ângulo polar e \(\theta\) é o ângulo azimutal. O volume elementar em coordenadas esféricas é dado por \(dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta\). Os limites para \(\rho\) vão de \(0\) a \(1\) (já que estamos na bola unitária), para \(\phi\) de \(0\) a \(\pi\) e para \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\). A função a ser integrada se torna: \[ x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2 \] Portanto, a integral se transforma em: \[ \iiint_{E} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho^2 \cdot \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] \[ = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi \int_0^1 \rho^4 \, d\rho \] Calculando cada parte: 1. A integral em \(\rho\): \[ \int_0^1 \rho^4 \, d\rho = \left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{5} \] 2. A integral em \(\phi\): \[ \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi = \left[-\cos \phi\right]_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \] 3. A integral em \(\theta\): \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \] Agora, juntando tudo: \[ \iiint_{E} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8\pi}{5} \] Portanto, o resultado da integral é: \[ \frac{8\pi}{5} \]