Lista de Integral Tripla

Prévia do material em texto

INTEGRAIS MÚLTIPLAS-SEGUNDA PARTE. 
Integral Tripla e de Linha 
1- Expresse a integral ∫ ∫ ∫ √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
6
0
√4−𝑥
0
2
0
 como uma integral 
tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida. 
 
2- Calcule o volume do sólido S limitado pelo parabolóide 𝑧 = 1 − (𝑥2 +
𝑦2 ) e o plano 𝑧 = 0. 
 
 
3- Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e faça essa 
integral. 
a. ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃𝑑𝑟
4
𝑟
2𝜋
0
4
0
 
b. ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃
9−𝑟2
0
2
0
𝜋
2
0
 
 
4- Calcule ∭ √𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑉
𝐸
, onde E é a região contida dentro do cilindro 
𝑥2 + 𝑦2 = 16 e entre os planos 𝑧 = −5 e 𝑧 = 4. 
 
5- Calcule ∭ (𝑥2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑉
𝐸
, onde E é o sólido do primeiro octante que 
está abaixo do parabolóide 𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2. 
 
6- Calcule ∭ 𝑒2𝑑𝑉
𝐸
, onde E está delimitado pelo parabolóide 𝑧 = 1 + 𝑥2 +
𝑦2, pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 5 e pelo plano 𝑥𝑦. 
 
7- Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 =
1 como da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 
 
8- Calcule ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 )𝑑𝑉
𝐸
, onde E é a bola unitária 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1. 
 
9- Calcule ∭ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑉,
𝐻
 onde H é a região hemisférica que está acima 
do plano xy e abaixo da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1. 
 
10- Calcule ∭ 𝑒√𝑥2+𝑦2+𝑧2 𝑑𝑉
𝐸
, onde E é delimitado pela esfera 𝑥2 + 𝑦2 +
𝑧2 = 9 no primeiro octante. 
 
11- Calcule ∭ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉,
𝐸
 onde E está entre as esferas 𝜌 = 2 e 𝜌 = 4 e acima 
do cone ∅ =
𝜋
3
 . 
 
12- Determine o volume e o centróide do sólido E que está acima do cone 
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 e abaixo da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1. 
 
13- Calcule ∫ (2 + 𝑥2𝑦)𝑑𝑆
𝑐
, onde C é a metade superior do círculo unitário 
𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
 
14- Calcule ∫ 2𝑥𝑑𝑆
𝑐
 , onde C é formada pelo arco 𝐶1 da parábola 𝑦 = 𝑥2 de 
(0, 0) a (1, 1) seguindo pelo segmento de reta vertical 𝐶2 de (1, 1) 𝑎 
(1, 2). 
 
15- Calcule ∫ 𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦
𝑐
, onde (a) 𝐶 = 𝐶1 é o segmento de reta de 
(−5, −3) 𝑎 (0, 2) e (b) 𝐶 = 𝐶2 é o arco de parábola 𝑥 = 4 − 𝑦2 de 
(−5, −3) 𝑎 (0, 2). 
 
 
16- Calcule ∫ 𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑑𝑠
𝑐
, onde C é a hélice circular dada pelas equações 
𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑧 = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 
 
17- Calcule ∫ 𝑦𝑑𝑥
𝐶
+ 𝑧𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑧, onde C consiste no segmento de reta 𝐶1 
que une (2, 0, 0) a (3, 4, 5) seguido pelo segmento de reta 𝐶2 de (3, 4, 5) 
a (3, 4, 0). 
 
18- Calcule a integral de linha, onde 𝐶 é a curva dada. 
 
a. ∫ 𝑦 𝑑𝑠, 𝐶: 𝑥 = 𝑡2, 𝑦 = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2
𝐶
 
b. ∫ (
𝑦
𝑥
) 𝑑𝑠, 𝐶: 𝑥 = 𝑡4, 𝑦 = 𝑡3,
1
2
≤ 𝑡 ≤ 1
𝐶
 
 
19- ∫ (𝑥𝑦 + 𝑙𝑛𝑥)𝑑𝑦,
𝐶
 onde C é o arco de parábola 𝑦 = 𝑥2 de (1, 1) a (3, 9). 
 
20- ∫ 𝑧𝑑𝑧 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧, 𝐶: 𝑥 = 𝑡2,
𝑐
 𝑦 = 𝑡3, 𝑧 = 𝑡3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.