Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função \(f(x) = x^{3} - 3x^{2}\), precisamos calcular a derivada da função e analisar seu sinal. 1. Calcular a derivada: \[ f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2) \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Isso nos dá os pontos críticos \(x = 0\) e \(x = 2\). 3. Analisar o sinal da derivada: Vamos testar os intervalos determinados pelos pontos críticos: \((-∞, 0)\), \((0, 2)\) e \((2, +∞)\). - Para \(x < 0\) (por exemplo, \(x = -1\)): \[ f'(-1) = 3(-1)(-1 - 2) = 3(-1)(-3) = 9 > 0 \quad \text{(crescente)} \] - Para \(0 < x < 2\) (por exemplo, \(x = 1\)): \[ f'(1) = 3(1)(1 - 2) = 3(1)(-1) = -3 < 0 \quad \text{(decrescente)} \] - Para \(x > 2\) (por exemplo, \(x = 3\)): \[ f'(3) = 3(3)(3 - 2) = 3(3)(1) = 9 > 0 \quad \text{(crescente)} \] 4. Conclusão: - A função é crescente em \((-∞, 0)\) e \((2, +∞)\). - A função é decrescente em \((0, 2)\). Agora, analisando as alternativas: A) Crescente para \([0,2]\) - Incorreta (é decrescente nesse intervalo). B) Crescente para \((2,+∞)\) - Correta. C) Decrescente para \([0,2]\) - Correta, mas não é a única opção correta. D) Decrescente para \([0,+∞)\) - Incorreta (é crescente após \(x=2\)). E) Decrescente para \((-∞, 0]\) - Incorreta (é crescente nesse intervalo). Portanto, a alternativa correta é: B) Crescente para \((2,+∞)\).