Para calcular a integral de linha \(\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Identificar o campo vetorial e a curva: - O campo vetorial é \(\vec{F}(x, y) = (2x, 3y)\). - A curva \(C\) é parametrizada por \(\vec{r}(t) = (t, t^2)\) para \(t\) variando de \(0\) a \(1\). 2. Calcular \(d\vec{r}\): - Derivando \(\vec{r}(t)\), temos: \[ \frac{d\vec{r}}{dt} = \left(1, 2t\right) \] - Portanto, \(d\vec{r} = (1, 2t) dt\). 3. Substituir \(x\) e \(y\) na função \(\vec{F}\): - Para a parametrização, temos \(x = t\) e \(y = t^2\). - Assim, \(\vec{F}(\vec{r}(t)) = \vec{F}(t, t^2) = (2t, 3t^2)\). 4. Calcular o produto escalar \(\vec{F} \cdot d\vec{r}\): - O produto escalar é: \[ \vec{F} \cdot d\vec{r} = (2t, 3t^2) \cdot (1, 2t) = 2t \cdot 1 + 3t^2 \cdot 2t = 2t + 6t^3 = 2t + 6t^3 \] 5. Integrar de \(t = 0\) a \(t = 1\): - A integral a ser calculada é: \[ \int_{0}^{1} (2t + 6t^3) dt \] - Calculando a integral: \[ \int (2t) dt = t^2 \quad \text{e} \quad \int (6t^3) dt = \frac{6}{4}t^4 = \frac{3}{2}t^4 \] - Portanto: \[ \int_{0}^{1} (2t + 6t^3) dt = \left[t^2 + \frac{3}{2}t^4\right]_{0}^{1} = \left(1^2 + \frac{3}{2} \cdot 1^4\right) - \left(0 + 0\right) = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \] Assim, a integral de linha \(\int_{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \frac{5}{2}\). Portanto, a alternativa correta é: E \(\square \frac{5}{2}\).