Para determinar a área da região limitada pelas curvas \(y = x^3\) e \(y = 4x\) no primeiro quadrante, precisamos calcular a integral definida que você começou a escrever. Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Igualando \(x^3\) a \(4x\): \[ x^3 = 4x \] Isso pode ser reescrito como: \[ x^3 - 4x = 0 \] Fatorando, temos: \[ x(x^2 - 4) = 0 \] Portanto, \(x = 0\) ou \(x^2 - 4 = 0\), que resulta em \(x = 2\). Assim, as curvas se interceptam nos pontos \(x = 0\) e \(x = 2\). Agora, a área \(A\) entre as curvas é dada pela integral: \[ A = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx \] Calculando a integral: \[ A = \int_{0}^{2} (4x - x^3) \, dx = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} \] Substituindo os limites: \[ A = \left( 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right) - \left( 2(0^2) - \frac{(0^4)}{4} \right) \] \[ A = \left( 2(4) - \frac{16}{4} \right) - 0 \] \[ A = (8 - 4) = 4 \] Portanto, a área da região limitada pelas curvas é \(A = 4\). Assim, a alternativa correta é: D \(\square A = 4\).