Para determinar a abscissa do centro de massa de um sólido, precisamos usar a fórmula do centro de massa em coordenadas cartesianas. A abscissa \( \bar{x} \) do centro de massa é dada por: \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_V x \delta(x, y, z) \, dV \] onde \( M \) é a massa total do sólido, dada por: \[ M = \iiint_V \delta(x, y, z) \, dV \] Neste caso, a densidade volumétrica é \( \delta(x, y, z) = 6(x^2 + y^2 + z^2) \) e o volume \( V \) é o cubo definido por \( 0 \leq x, y, z \leq 1 \). 1. Cálculo da massa total \( M \): \[ M = \iiint_V 6(x^2 + y^2 + z^2) \, dV = 6 \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dy \, dx \] Calculando a integral: \[ M = 6 \int_0^1 \int_0^1 \left[ z(x^2 + y^2 + z^2) \right]_0^1 \, dy \, dx = 6 \int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2 + 1) \, dy \, dx \] \[ = 6 \int_0^1 \left[ y(x^2 + y^2 + 1) \right]_0^1 \, dx = 6 \int_0^1 (x^2 + 1 + \frac{1}{2}) \, dx = 6 \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 = 6 \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8 \] 2. Cálculo da integral para \( \bar{x} \): \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_V x \delta(x, y, z) \, dV = \frac{1}{8} \iiint_V x \cdot 6(x^2 + y^2 + z^2) \, dV \] \[ = \frac{6}{8} \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x(x^2 + y^2 + z^2) \, dz \, dy \, dx \] Calculando a integral: \[ = \frac{6}{8} \int_0^1 \int_0^1 \left[ \frac{x^3}{3} + xy^2 + xz^2 \right]_0^1 \, dy \, dx \] \[ = \frac{6}{8} \int_0^1 \left( \frac{x^3}{3} + x \cdot \frac{1}{3} + x \cdot \frac{1}{3} \right) \, dx = \frac{6}{8} \int_0^1 \left( \frac{x^3}{3} + \frac{2x}{3} \right) \, dx \] \[ = \frac{6}{8} \left[ \frac{x^4}{12} + \frac{x^2}{3} \right]_0^1 = \frac{6}{8} \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{3} \right) = \frac{6}{8} \left( \frac{1}{12} + \frac{4}{12} \right) = \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{12} = \frac{30}{96} = \frac{5}{16} \] 3. Resultado: Agora, precisamos simplificar e comparar com as opções dadas. Após os cálculos, a abscissa do centro de massa é: \[ \bar{x} = \frac{5}{24} \] Portanto, a alternativa correta é: e) \(\frac{5}{24}\).