Para aplicar o método de Newton à função \( f(x) = x^2 - \cos(x) \) com \( x_0 = 1.5 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular a derivada da função: \[ f'(x) = 2x + \sin(x) \] 2. Aplicar a fórmula do método de Newton: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 3. Iterar até convergir para o valor desejado (neste caso, \( x \approx 1.447524 \)). Vamos calcular algumas iterações: - Iteração 1: \[ f(1.5) = 1.5^2 - \cos(1.5) \approx 2.25 - 0.070737 = 2.179263 \] \[ f'(1.5) = 2(1.5) + \sin(1.5) \approx 3 + 0.997495 = 3.997495 \] \[ x_1 = 1.5 - \frac{2.179263}{3.997495} \approx 1.5 - 0.544 = 0.956 \] - Iteração 2: Calcule \( f(0.956) \) e \( f'(0.956) \) e aplique a fórmula novamente. Continue esse processo até que o valor de \( x_n \) se aproxime de \( 1.447524 \). O número de iterações necessárias pode variar, mas geralmente o método de Newton converge rapidamente se a escolha inicial estiver próxima da raiz.