Qual é a transformação linear T: R³ → R², tal que S(3,2,1) = (1,1), S(0,1,0) = (0,-2) e S(0,0,1) = (0,-1)?

Para encontrar a transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) que satisfaz as condições dadas, podemos expressar \( T \) em termos de uma matriz \( A \) que transforma um vetor \( \mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \) em \( T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} \). Dado que: - \( T(3, 2, 1) = (1, 1) \) - \( T(0, 1, 0) = (0, -2) \) - \( T(0, 0, 1) = (0, -1) \) Podemos escrever a matriz \( A \) como: \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \] Agora, usando as condições dadas, podemos montar um sistema de equações: 1. Para \( T(3, 2, 1) = (1, 1) \): \[ 3a_{11} + 2a_{12} + a_{13} = 1 \\ 3a_{21} + 2a_{22} + a_{23} = 1 \] 2. Para \( T(0, 1, 0) = (0, -2) \): \[ a_{12} = 0 \\ a_{22} = -2 \] 3. Para \( T(0, 0, 1) = (0, -1) \): \[ a_{13} = 0 \\ a_{23} = -1 \] Substituindo \( a_{12} \), \( a_{13} \), \( a_{22} \) e \( a_{23} \) nas equações do primeiro vetor: \[ 3a_{11} + 2(0) + 0 = 1 \implies a_{11} = \frac{1}{3} \\ 3a_{21} + 2(-2) + (-1) = 1 \implies 3a_{21} - 4 = 1 \implies 3a_{21} = 5 \implies a_{21} = \frac{5}{3} \] Assim, a matriz \( A \) que representa a transformação linear \( T \) é: \[ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{3} & -2 & -1 \end{pmatrix} \] Portanto, a transformação linear \( T \) é dada por: \[ T(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{3}x_1 \\ \frac{5}{3}x_1 - 2x_2 - x_3 \end{pmatrix} \]