Transformacoes Lineares - Definicao de Transformacoes Lineares lista de exercicios

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Disciplina: Álgebra Linear e Geometria 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 
 
Transformações Lineares 
Definição de Transformações Lineares 
 
Lista de Exercícios Resolvida 
 
 
 
Questão 1 
 
Qual é a definição de uma transformação linear? 
 
A) Uma transformação linear é uma função que mapeia um espaço vetorial em outro 
espaço vetorial, preservando a estrutura linear. 
B) Uma transformação linear é uma função que mapeia um espaço vetorial em outro 
espaço vetorial, preservando apenas a estrutura de grupo. 
C) Uma transformação linear é uma função que mapeia um espaço vetorial em outro 
espaço vetorial, preservando apenas a estrutura de anel. 
D) Uma transformação linear é uma função que mapeia um espaço vetorial em outro 
espaço vetorial, sem preservar nenhuma estrutura. 
E) Uma transformação linear é uma função que mapeia um espaço vetorial em outro 
espaço vetorial, apenas se os espaços vetoriais forem finitos. 
 
Resposta: A) Uma transformação linear é uma função que mapeia um espaço vetorial em 
outro espaço vetorial, preservando a estrutura linear. 
 
Explicação: Uma transformação linear é uma função que mapeia um espaço vetorial em 
outro espaço vetorial, preservando a estrutura linear, ou seja, preservando as operações 
de adição e multiplicação por escalares. 
 
Questão 2 
 
Qual é a condição necessária e suficiente para que uma função seja uma transformação 
linear? 
 
A) A função deve ser contínua. 
B) A função deve ser diferenciável. 
C) A função deve preservar a estrutura linear. 
D) A função deve ser injetiva. 
E) A função deve ser sobrejetiva. 
 
Resposta: C) A função deve preservar a estrutura linear. 
 
Explicação: A condição necessária e suficiente para que uma função seja uma 
transformação linear é que a função preserve a estrutura linear, ou seja, preserve as 
operações de adição e multiplicação por escalares. 
 
 
Questão 3 
 
Qual é o nome do teorema que afirma que uma transformação linear é completamente 
determinada pela sua ação sobre uma base do espaço vetorial? 
 
A) Teorema da Base 
B) Teorema da Transformação Linear 
C) Teorema da Representação 
D) Teorema da Identidade 
E) Teorema da Injeção 
 
Resposta: A) Teorema da Base 
 
Explicação: O Teorema da Base afirma que uma transformação linear é completamente 
determinada pela sua ação sobre uma base do espaço vetorial. 
 
Questão 4 
 
Qual é a consequência de uma transformação linear ter um núcleo não trivial? 
 
A) A transformação linear é injetiva. 
B) A transformação linear é sobrejetiva. 
C) A transformação linear é uma isomorfismo. 
D) A transformação linear não é injetiva. 
E) A transformação linear não é sobrejetiva. 
 
Resposta: D) A transformação linear não é injetiva. 
 
Explicação: Se uma transformação linear tem um núcleo não trivial, isso significa que 
existem vetores não nulos que são mapeados para o vetor nulo, e portanto, a 
transformação linear não é injetiva. 
 
Questão 5 
 
Qual é o nome do conceito que descreve a relação entre a imagem e o núcleo de uma 
transformação linear? 
 
A) Teorema do Núcleo 
B) Teorema da Imagem 
C) Teorema da Relação 
D) Teorema da Correspondência 
E) Teorema do Rango 
 
Resposta: E) Teorema do Rango 
 
Explicação: O Teorema do Rango descreve a relação entre a imagem e o núcleo de uma 
transformação linear, afirmando que o rango da transformação linear é igual à dimensão 
da imagem. 
 
Questão 6 
 
Qual é a consequência de uma transformação linear ser uma isomorfismo? 
 
A) A transformação linear é injetiva, mas não é sobrejetiva. 
B) A transformação linear é sobrejetiva, mas não é injetiva. 
C) A transformação linear é tanto injetiva quanto sobrejetiva. 
D) A transformação linear não é injetiva e não é sobrejetiva. 
E) A transformação linear é uma bijeção, mas não é uma isomorfismo. 
 
Resposta: C) A transformação linear é tanto injetiva quanto sobrejetiva. 
 
Explicação: Se uma transformação linear é uma isomorfismo, isso significa que ela é tanto 
injetiva quanto sobrejetiva, ou seja, é uma bijeção que preserva a estrutura linear. 
 
Questão 7 
 
Qual é o nome do teorema que afirma que uma transformação linear é uma isomorfismo 
se e somente se a sua matriz associada é invertível? 
 
A) Teorema da Isomorfismo 
B) Teorema da Matriz Invertível 
C) Teorema da Transformação Linear 
D) Teorema da Bijecção 
E) Teorema da Correspondência 
 
Resposta: A) Teorema da Isomorfismo 
 
Explicação: O Teorema da Isomorfismo afirma que uma transformação linear é uma 
isomorfismo se e somente se a sua matriz associada é invertível. 
 
Questão 8 
 
Qual é a consequência de uma transformação linear ter uma matriz associada que não é 
invertível? 
 
A) A transformação linear é uma isomorfismo. 
B) A transformação linear é injetiva, mas não é sobrejetiva. 
C) A transformação linear é sobrejetiva, mas não é injetiva. 
D) A transformação linear não é injetiva e não é sobrejetiva. 
E) A transformação linear é uma bijeção, mas não é uma isomorfismo. 
 
Resposta: D) A transformação linear não é injetiva e não é sobrejetiva. 
 
Explicação: Se uma transformação linear tem uma matriz associada que não é invertível, 
isso significa que a transformação linear não é uma isomorfismo e, portanto, não é injetiva 
e não é sobrejetiva. 
 
 
Questão 9 
 
Qual é o nome do conceito que descreve a relação entre a transformação linear e a sua 
matriz associada? 
 
A) Teorema da Matriz Associada 
B) Teorema da Transformação Linear 
C) Teorema da Correspondência 
D) Teorema da Bijecção 
E) Teorema da Isomorfismo 
 
Resposta: A) Teorema da Matriz Associada 
 
Explicação: O Teorema da Matriz Associada descreve a relação entre a transformação 
linear e a sua matriz associada, afirmando que a transformação linear é completamente 
determinada pela sua matriz associada. 
 
Questão 10 
 
Qual é a consequência de uma transformação linear ser uma composição de duas 
transformações lineares? 
 
A) A transformação linear é uma isomorfismo. 
B) A transformação linear é injetiva, mas não é sobrejetiva. 
C) A transformação linear é sobrejetiva, mas não é injetiva. 
D) A transformação linear não é injetiva e não é sobrejetiva. 
E) A transformação linear é uma bijeção, mas não é uma isomorfismo. 
 
Resposta: A) A transformação linear é uma isomorfismo. 
 
Explicação: Se uma transformação linear é uma composição de duas transformações 
lineares, isso significa que a transformação linear é uma isomorfismo, pois a composição 
de duas isomorfismos é também uma isomorfismo.