Para resolver essa questão, vamos calcular as probabilidades passo a passo. ### a. Probabilidade de um produto não conter defeitos Primeiro, precisamos calcular a probabilidade de um produto não ter defeito para cada fabricante: - Para A: 98% (100% - 2%) - Para B: 97% (100% - 3%) - Para C: 95% (100% - 5%) Agora, considerando a proporção de produtos de cada fabricante na loja: - A: 30% dos produtos - B: 50% dos produtos - C: 20% dos produtos A probabilidade total de um produto não conter defeitos é dada pela soma das probabilidades de não ter defeito multiplicadas pela proporção de cada fabricante: \[ P(\text{não defeituoso}) = P(A) \cdot P(\text{não defeituoso | A}) + P(B) \cdot P(\text{não defeituoso | B}) + P(C) \cdot P(\text{não defeituoso | C}) \] Substituindo os valores: \[ P(\text{não defeituoso}) = 0,30 \cdot 0,98 + 0,50 \cdot 0,97 + 0,20 \cdot 0,95 \] Calculando: \[ P(\text{não defeituoso}) = 0,294 + 0,485 + 0,19 = 0,969 \] Portanto, a probabilidade de um produto não conter defeitos é 96,9%. ### b. Probabilidade de ter sido produzido por A, dado que tem defeito Para calcular essa probabilidade, usamos o Teorema de Bayes. Precisamos da probabilidade de um produto ter defeito e da probabilidade de um produto ter defeito dado que foi produzido por A. Primeiro, calculamos a probabilidade total de um produto ter defeito: \[ P(\text{defeituoso}) = P(A) \cdot P(\text{defeituoso | A}) + P(B) \cdot P(\text{defeituoso | B}) + P(C) \cdot P(\text{defeituoso | C}) \] Substituindo os valores: \[ P(\text{defeituoso}) = 0,30 \cdot 0,02 + 0,50 \cdot 0,03 + 0,20 \cdot 0,05 \] Calculando: \[ P(\text{defeituoso}) = 0,006 + 0,015 + 0,01 = 0,031 \] Agora, aplicamos o Teorema de Bayes: \[ P(A | \text{defeituoso}) = \frac{P(A) \cdot P(\text{defeituoso | A})}{P(\text{defeituoso})} \] Substituindo os valores: \[ P(A | \text{defeituoso}) = \frac{0,30 \cdot 0,02}{0,031} \] Calculando: \[ P(A | \text{defeituoso}) = \frac{0,006}{0,031} \approx 0,1935 \] Portanto, a probabilidade de que um produto com defeito tenha sido produzido por A é aproximadamente 19,35%.