Seja α : (0,+∞) → (0,+∞) cont́ınua e crescente, com α(1) = 1. Prove que∫ x 1 dα α = logα(x). [Não suponha α diferenciável!]

Para provar que \(\int_1^x d\alpha(\alpha) = \log \alpha(x)\), vamos seguir os passos abaixo: 1. Definição da Integral: A integral \(\int_1^x d\alpha(\alpha)\) representa a variação da função \(\alpha\) de 1 até \(x\). 2. Propriedades da Função: Como \(\alpha\) é contínua e crescente, sabemos que \(\alpha(1) = 1\) e \(\alpha(x) > 1\) para \(x > 1\). 3. Mudança de Variáveis: Vamos fazer uma mudança de variáveis na integral. Seja \(u = \alpha(t)\), então \(du = \alpha'(t) dt\). Como \(\alpha\) é crescente, a inversa \(\alpha^{-1}\) existe. 4. Limites da Integral: Quando \(t = 1\), \(u = \alpha(1) = 1\). Quando \(t = x\), \(u = \alpha(x)\). Assim, a integral se transforma em: \[ \int_1^{\alpha(x)} \frac{1}{u} du \] 5. Cálculo da Integral: A integral \(\int \frac{1}{u} du\) é \(\log u\). Portanto, temos: \[ \int_1^{\alpha(x)} \frac{1}{u} du = \log \alpha(x) - \log 1 = \log \alpha(x) \] 6. Conclusão: Assim, provamos que: \[ \int_1^x d\alpha(\alpha) = \log \alpha(x) \] Portanto, a afirmação está provada.