Mostre que o sistema de equações 3x2 − 2xy + y2 = 2 e 4x2 + 2xy + 2y2 = 3 possui uma solução no interior do disco unitário em R2.

Para mostrar que o sistema de equações \(3x^2 - 2xy + y^2 = 2\) e \(4x^2 + 2xy + 2y^2 = 3\) possui uma solução no interior do disco unitário em \(\mathbb{R}^2\), podemos usar o Teorema de Brouwer, que afirma que uma função contínua que mapeia uma bola compacta em si mesma tem pelo menos um ponto fixo. 1. Definindo as funções: Vamos definir as funções \(f(x, y) = 3x^2 - 2xy + y^2 - 2\) e \(g(x, y) = 4x^2 + 2xy + 2y^2 - 3\). Queremos encontrar um ponto \((x, y)\) tal que \(f(x, y) = 0\) e \(g(x, y) = 0\). 2. Analisando os limites: Avaliamos as funções nos limites do disco unitário, ou seja, quando \(x^2 + y^2 = 1\). 3. Verificando os valores: - Para \(x = 1\) e \(y = 0\): - \(f(1, 0) = 3(1)^2 - 2(1)(0) + (0)^2 - 2 = 1\) - \(g(1, 0) = 4(1)^2 + 2(1)(0) + 2(0)^2 - 3 = 1\) - Para \(x = 0\) e \(y = 1\): - \(f(0, 1) = 3(0)^2 - 2(0)(1) + (1)^2 - 2 = -1\) - \(g(0, 1) = 4(0)^2 + 2(0)(1) + 2(1)^2 - 3 = -1\) 4. Aplicando o Teorema de Bolzano: Como \(f\) e \(g\) são contínuas e mudam de sinal no disco unitário, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos um ponto \((x, y)\) no interior do disco unitário onde \(f(x, y) = 0\) e \(g(x, y) = 0\). Portanto, concluímos que o sistema de equações possui uma solução no interior do disco unitário em \(\mathbb{R}^2\).