Para mostrar que existe uma função \( f : U \to \mathbb{R} \) de classe \( C^\infty \) tal que \( \omega_p - \omega_q = df \), você pode seguir os seguintes passos: 1. Definição de Formas Diferenciais: Lembre-se de que \( \omega_p \) e \( \omega_q \) são formas diferenciais em \( U \). 2. Caminhos Fechados: A sugestão é mostrar que a integral de \( \omega_p \) e \( \omega_q \) ao longo de qualquer caminho fechado \( \lambda \) é igual. Ou seja, você deve provar que: \[ \int_\lambda \omega_p = \int_\lambda \omega_q \] para todo caminho fechado \( \lambda \) que é seccionalmente \( C^1 \) em \( U \). 3. Teorema de Stokes: Utilize o Teorema de Stokes, que afirma que a integral de uma forma diferencial ao longo de um caminho fechado é igual à integral da sua derivada ao longo da região delimitada por esse caminho. Se \( \omega_p - \omega_q = df \), então: \[ \int_\lambda (\omega_p - \omega_q) = \int_\lambda df = 0 \] para qualquer caminho fechado \( \lambda \). 4. Conclusão: Se a integral de \( \omega_p - \omega_q \) é zero para todos os caminhos fechados, isso implica que \( \omega_p \) e \( \omega_q \) são formas diferenciais que diferem por uma forma exata, ou seja, existe uma função \( f \) tal que \( \omega_p - \omega_q = df \). 5. Existência de \( f \): A função \( f \) pode ser construída a partir de uma integral de linha, escolhendo um ponto de referência e integrando \( \omega_p \) ou \( \omega_q \) ao longo de um caminho que conecta esse ponto ao ponto de interesse. Esses passos devem ajudá-lo a demonstrar a existência da função \( f \) de classe \( C^\infty \) que satisfaz a condição dada.