Para provar que a condição \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 0\) é necessária e suficiente para a existência de uma função \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) com suporte compacto tal que \(g' = f\), vamos seguir os seguintes passos: 1. Necessidade: Suponha que exista uma função \(g\) de classe \(C^1\) com suporte compacto tal que \(g' = f\). Como \(g\) tem suporte compacto, \(g\) é zero fora de um intervalo \([a, b]\). Portanto, podemos calcular a integral de \(f\): \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx. \] Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = g(b) - g(a). \] Como \(g\) tem suporte compacto, \(g(a) = g(b) = 0\). Assim, \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 0\). 2. Suficiência: Agora, suponha que \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 0\). Como \(f\) tem suporte compacto, existe um intervalo \([a, b]\) tal que \(f(x) = 0\) para \(x \notin [a, b]\). Podemos definir uma função \(g\) como: \[ g(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt. \] A função \(g\) é contínua e diferenciável, e sua derivada é: \[ g'(x) = f(x). \] Além disso, como \(f\) é zero fora de \([a, b]\), \(g\) terá suporte compacto, pois \(g(x)\) será constante (e igual a \(g(a)\)) fora desse intervalo. Portanto, a condição \(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 0\) é necessária e suficiente para a existência de uma função \(g\) de classe \(C^1\) com suporte compacto tal que \(g' = f\).