Para determinar se a função \( f(x) = x^{1/3} \) é Lipschitz em \( \mathbb{R} \), precisamos analisar a sua derivada. A condição de Lipschitz implica que existe uma constante \( L \) tal que: \[ |f(x_1) - f(x_2)| \leq L |x_1 - x_2| \quad \text{para todo } x_1, x_2 \in \mathbb{R}. \] Calculando a derivada de \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3}. \] Essa derivada não é limitada quando \( x \) se aproxima de zero, pois tende ao infinito. Portanto, a função não é Lipschitz em \( \mathbb{R} \). Analisando as alternativas: a) Sim, para todo R. - Incorreto, pois a derivada não é limitada. b) Não, pois a derivada não é limitada perto de zero. - Correto, essa é a razão pela qual a função não é Lipschitz. c) Sim, desde que x>0. - Incorreto, pois a função não é Lipschitz em todo o domínio. d) Não, porque é descontinua. - Incorreto, a função é contínua. Portanto, a alternativa correta é: b) Não, pois a derivada não é limitada perto de zero.