Para determinar se uma função com derivada limitada em um intervalo é necessariamente Lipschitz, precisamos entender o que isso significa. Uma função \( f \) é Lipschitz em um intervalo se existe uma constante \( L \) tal que para todos \( x_1 \) e \( x_2 \) no intervalo, temos: \[ |f(x_1) - f(x_2)| \leq L |x_1 - x_2| \] Se a derivada \( f' \) é limitada, isso significa que existe um número \( M \) tal que \( |f'(x)| \leq M \) para todo \( x \) no intervalo. Isso implica que a função não pode variar mais rapidamente do que uma certa taxa, o que é suficiente para garantir que a função é Lipschitz. Agora, analisando as alternativas: a) Sim, se a derivada é limitada, a função é Lipschitz com constante igual ao maior valor da derivada. - Esta afirmação é verdadeira, pois a derivada limitada implica que a função é Lipschitz. b) Não, a derivada limitada não garante Lipschitz. - Esta afirmação é falsa, pois a derivada limitada sim garante que a função é Lipschitz. c) Apenas se a derivada for contínua. - Esta afirmação é falsa, pois a continuidade da derivada não é necessária para que a função seja Lipschitz. d) Só se a função for linear. - Esta afirmação é falsa, pois funções não lineares também podem ser Lipschitz se sua derivada for limitada. Portanto, a alternativa correta é: a) Sim, se a derivada é limitada, a função é Lipschitz com constante igual ao maior valor da derivada.