Qual das seguintes funcoes e Lipschitz no intervalo [0,1]? a) f(x)=x b) f(x)=x^2 c) f(x)=3x+2 d) f(x)=ln(x)

Para determinar se uma função é Lipschitz em um intervalo, precisamos verificar se existe uma constante \( L \) tal que para todos \( x_1, x_2 \) no intervalo, a seguinte condição é satisfeita: \[ |f(x_1) - f(x_2)| \leq L |x_1 - x_2| \] Vamos analisar cada uma das opções no intervalo \([0, 1]\): a) \( f(x) = x \) A derivada \( f'(x) = 1 \), que é constante. Portanto, \( |f(x_1) - f(x_2)| \leq |x_1 - x_2| \). É Lipschitz com \( L = 1 \). b) \( f(x) = x^2 \) A derivada \( f'(x) = 2x \). No intervalo \([0, 1]\), \( |f'(x)| \) varia de \( 0 \) a \( 2 \). Portanto, não é Lipschitz com uma constante única. c) \( f(x) = 3x + 2 \) A derivada \( f'(x) = 3 \), que é constante. Portanto, \( |f(x_1) - f(x_2)| \leq 3 |x_1 - x_2| \). É Lipschitz com \( L = 3 \). d) \( f(x) = \ln(x) \) A função não é definida em \( x = 0 \) e sua derivada \( f'(x) = \frac{1}{x} \) tende ao infinito quando \( x \) se aproxima de \( 0 \). Portanto, não é Lipschitz no intervalo \([0, 1]\). Analisando as alternativas, as funções que são Lipschitz no intervalo \([0, 1]\) são: - a) \( f(x) = x \) - c) \( f(x) = 3x + 2 \) Se a pergunta pede apenas uma função, a resposta correta é a) \( f(x) = x \), pois é a mais simples e sempre Lipschitz.