Para entender a relação entre funções Lipschitz e funções uniformemente contínuas, vamos analisar as definições: 1. Função Lipschitz: Uma função \( f: A \to \mathbb{R} \) é chamada de Lipschitz se existe uma constante \( L \geq 0 \) tal que, para todos \( x_1, x_2 \in A \), temos: \[ |f(x_1) - f(x_2)| \leq L |x_1 - x_2|. \] Isso implica que a função não pode variar muito rapidamente. 2. Função uniformemente contínua: Uma função \( f: A \to \mathbb{R} \) é uniformemente contínua se, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que, para todos \( x_1, x_2 \in A \), se \( |x_1 - x_2| < \delta \), então \( |f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) Toda função Lipschitz é uniformemente contínua, mas o contrário não é verdadeiro. - Esta afirmação é verdadeira. Toda função Lipschitz é uniformemente contínua, mas existem funções uniformemente contínuas que não são Lipschitz. b) Toda função uniformemente contínua é Lipschitz. - Esta afirmação é falsa, como mencionado anteriormente. c) São conceitos completamente diferentes e independentes. - Esta afirmação é falsa, pois uma função Lipschitz é um caso especial de função uniformemente contínua. d) Funções Lipschitz não são contínuas. - Esta afirmação é falsa, pois funções Lipschitz são, por definição, contínuas. Portanto, a alternativa correta é: a) Toda função Lipschitz é uniformemente contínua, mas o contrário não é verdadeiro.