Para resolver a questão, vamos aplicar o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Dada a força \(\vec{F}(x, y) = \langle 3x^2y^2, 4x^3y + 2x^2y \rangle\), identificamos \(P = 3x^2y^2\) e \(Q = 4x^3y + 2x^2y\). Agora, precisamos calcular as derivadas parciais: 1. \(\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4x^3y + 2x^2y) = 12x^2y + 4xy\) 2. \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2) = 6x^2y\) Agora, aplicamos o Teorema de Green: \[ \oint_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx\,dy \] Substituindo as derivadas: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (12x^2y + 4xy) - 6x^2y = 6x^2y + 4xy \] Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região \(D\) que é o círculo \(x^2 + y^2 \leq 16\). Para facilitar, vamos usar coordenadas polares: - \(x = r \cos \theta\) - \(y = r \sin \theta\) - \(dx \, dy = r \, dr \, d\theta\) Os limites para \(r\) vão de \(0\) a \(4\) (raiz de \(16\)) e para \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\). Substituindo na integral: \[ \iint_{D} (6x^2y + 4xy) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^4 \left(6(r \cos \theta)^2 (r \sin \theta) + 4(r \cos \theta)(r \sin \theta)\right) r \, dr \, d\theta \] Calculando a integral, podemos observar que a parte que envolve \(r^3 \cos^2 \theta \sin \theta\) e \(r^2 \cos \theta \sin \theta\) resultará em zero ao integrar em \(\theta\) de \(0\) a \(2\pi\) devido à simetria (as funções seno e cosseno se cancelam). Portanto, o trabalho realizado pelo campo de forças ao longo do caminho fechado é: I) 0 Assim, a alternativa correta é: C) Somente a opção I está correta.