Sejam V=(-2,-1) o vértice de uma parábola e :x+2y=1 a equação de sua diretriz. Encontre a equação da parábola e seu foco.

Para encontrar a equação da parábola com vértice \( V = (-2, -1) \) e a diretriz dada pela equação \( x + 2y = 1 \), vamos seguir os passos: 1. Identificar a posição da diretriz: A equação da diretriz pode ser reescrita na forma \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \). A inclinação é negativa, indicando que a parábola é vertical. 2. Encontrar a distância do vértice à diretriz: Para isso, precisamos calcular a distância do ponto \( V \) à linha \( x + 2y - 1 = 0 \) usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] onde \( A = 1 \), \( B = 2 \), \( C = -1 \) e \( (x_0, y_0) = (-2, -1) \). Substituindo: \[ d = \frac{|1(-2) + 2(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-2 - 2 - 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \] 3. Determinar o foco: O foco está a uma distância \( p \) do vértice na direção oposta à diretriz. Como a distância \( d = \sqrt{5} \), temos \( p = \sqrt{5} \). O foco, portanto, será: \[ F = (-2, -1 + \sqrt{5}) \] 4. Equação da parábola: A forma padrão da equação de uma parábola vertical é: \[ (x - h)^2 = 4p(y - k) \] onde \( (h, k) \) é o vértice. Substituindo \( h = -2 \), \( k = -1 \) e \( p = \sqrt{5} \): \[ (x + 2)^2 = 4\sqrt{5}(y + 1) \] Portanto, a equação da parábola é: \[ (x + 2)^2 = 4\sqrt{5}(y + 1) \] E o foco é: \[ F = (-2, -1 + \sqrt{5}) \]