Para encontrar a parte imaginária da expressão \(((1 + \cos 2x) + i \sen 2x)^b\), onde \(b\) é um inteiro positivo e \(x\) é real, vamos analisar a expressão. 1. A parte real da expressão é \(1 + \cos 2x\). 2. A parte imaginária da expressão é \(\sen 2x\). Quando elevamos a expressão à potência \(b\), podemos usar a fórmula de binômio de Newton, mas o que nos interessa é a parte imaginária resultante. A parte imaginária de \(((1 + \cos 2x) + i \sen 2x)^b\) pode ser obtida considerando que a parte imaginária é dada por \(b\) vezes a parte imaginária da expressão original multiplicada pelo coeficiente binomial, que resulta em \(b \cdot \sen 2x\) multiplicado por um fator que depende de \(x\). Analisando as alternativas: a) \(2 \sen b x \cos b x\) b) \(\sen b x \cos b x\) c) \(2b \sen b x \cos b x\) d) \(2b \sen b x \cos b x\) e) \(\sen b x \cos b x\) A parte imaginária correta, considerando a multiplicação e a forma como a parte imaginária se comporta na expansão, é a alternativa c) \(2b \sen b x \cos b x\). Portanto, a resposta correta é: c) \(2b \sen b x \cos b x\).