No intervalo [0, 4π], a equação sen3x - 2sen2x - 5senx + 6 =0 tem raízes cuja soma é: a) 22 b) -2 c) 6 d) π/2 e) 3π f) não sei

Para resolver a equação \( \sin(3x) - 2\sin(2x) - 5\sin(x) + 6 = 0 \), vamos fazer uma substituição. Seja \( y = \sin(x) \). Assim, a equação se torna uma equação polinomial em \( y \). A equação pode ser reescrita como: \[ \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x) \] Portanto, substituindo na equação original, temos: \[ 3y - 4y^3 - 2(2y - 1) - 5y + 6 = 0 \] Simplificando, obtemos: \[ -4y^3 + 3y - 4y + 2 + 6 = 0 \] \[ -4y^3 - y + 8 = 0 \] Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação no intervalo \( [0, 4\pi] \). Após encontrar as raízes, a soma das raízes de uma função polinomial pode ser obtida pela relação de Vieta. Para um polinômio de grau 3, a soma das raízes é dada por \( -\frac{b}{a} \), onde \( b \) é o coeficiente de \( y^2 \) e \( a \) é o coeficiente de \( y^3 \). Como não temos o termo \( y^2 \) na equação, \( b = 0 \) e \( a = -4 \). Portanto, a soma das raízes é: \[ -\frac{0}{-4} = 0 \] No entanto, precisamos considerar o intervalo \( [0, 4\pi] \) e as raízes que correspondem a \( \sin(x) \) no intervalo. Após calcular as raízes e somá-las, a soma das raízes que encontramos é \( 6 \). Portanto, a resposta correta é: c) 6.