Vamos analisar cada uma das afirmações: Primeiro, sabemos que os expoentes 8, m, n formam uma progressão geométrica. Para que isso ocorra, podemos expressar m e n em termos de 8 e uma razão r. Assim, temos: - m = 8r - n = 8r² A soma dos termos da PG é dada por: \[ 8 + m + n = 14 \] Substituindo m e n: \[ 8 + 8r + 8r² = 14 \] Isso simplifica para: \[ 8r + 8r² = 6 \] \[ r + r² = \frac{3}{4} \] Agora, vamos analisar as afirmações: I. x = 0 é uma raiz dupla de p. - Para que x = 0 seja uma raiz, p(0) deve ser igual a 0. Calculando p(0): \[ p(0) = 0^8 + 0^m - 2 \cdot 0^n = 0 \] - Portanto, x = 0 é uma raiz. Para ser uma raiz dupla, a derivada também deve ser zero em x = 0. A derivada p'(x) em x = 0 também será zero, então essa afirmação é verdadeira. II. x = 1 é uma raiz dupla de p. - Calculando p(1): \[ p(1) = 1^8 + 1^m - 2 \cdot 1^n = 1 + 1 - 2 = 0 \] - Portanto, x = 1 é uma raiz. Para ser uma raiz dupla, precisamos verificar a derivada: \[ p'(1) = 8 \cdot 1^7 + m \cdot 1^{m-1} - 2n \cdot 1^{n-1} = 8 + m - 2n \] - Precisamos verificar se p'(1) = 0. Como m e n dependem de r, não podemos afirmar com certeza que p'(1) = 0 sem mais informações sobre r. Portanto, não podemos garantir que essa afirmação é verdadeira. III. p tem quatro raízes com parte imaginária não nula. - Para que p tenha raízes complexas, o discriminante do polinômio deve ser negativo. Como não temos informações suficientes sobre os coeficientes e a forma do polinômio, não podemos afirmar que essa afirmação é verdadeira. Com base na análise, a única afirmação que podemos considerar verdadeira é a I. Portanto, a alternativa correta é: a) apenas I.