Para analisar as alternativas sobre o polinômio \( p(z) = z^4 + (2 + i)z^3 + (2 + i)z^2 + (2 + i)z + (1 + i) \), vamos considerar algumas propriedades dos polinômios e suas raízes. 1. Raízes reais: Para determinar se nenhuma das raízes é real, podemos usar o Teorema de Bolzano ou o Teorema Fundamental da Álgebra, que afirma que um polinômio de grau \( n \) tem \( n \) raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos números complexos. Como os coeficientes são complexos, é possível que haja raízes reais, mas não é garantido. 2. Raízes complexas conjugadas: Se o polinômio tem coeficientes complexos, não é garantido que as raízes complexas sejam conjugadas. Portanto, a alternativa b) pode ser verdadeira. 3. Soma dos módulos: Para calcular a soma dos módulos das raízes, precisaríamos encontrar as raízes, o que não é trivial sem cálculos adicionais. 4. Produto dos módulos: O produto dos módulos das raízes de um polinômio é igual ao módulo do termo constante dividido pelo módulo do coeficiente líder. Neste caso, o termo constante é \( 1 + i \) e o coeficiente líder é \( 1 \). Portanto, o produto dos módulos seria \( |1 + i| = \sqrt{2} \). 5. Módulo de uma das raízes: Para determinar se o módulo de uma das raízes é igual a \( \sqrt{2} \), precisaríamos calcular as raízes. Analisando as alternativas, a que parece mais plausível, considerando que o polinômio tem coeficientes complexos e que o produto dos módulos das raízes é \( \sqrt{2} \), é a alternativa a) "nenhuma das raízes de p é real", que é uma afirmação que pode ser verdadeira, mas não podemos afirmar com certeza sem mais informações. Portanto, a alternativa correta é: a) nenhuma das raízes de p é real.