Para garantir que a equação diferencial \( y'' + 4x^2 + 4y = \cos x \) tenha solução única para um problema de valor inicial, precisamos verificar as condições do Teorema de Existência e Unicidade de Soluções para equações diferenciais. A equação pode ser reescrita na forma padrão: \[ y'' + 4y = \cos x - 4x^2 \] Aqui, a função \( f(x, y, y') = \cos x - 4x^2 \) é contínua em todo o \(\mathbb{R}\) e suas derivadas em relação a \(y\) e \(y'\) também são contínuas. Portanto, a equação satisfaz as condições do teorema em qualquer intervalo onde \(f\) e suas derivadas são contínuas. Assim, podemos garantir que a equação terá solução única em qualquer intervalo \(I\) que não contenha pontos onde as funções envolvidas se tornem não contínuas. Como \(f\) é contínua para todo \(x\), podemos afirmar que a solução única existe em qualquer intervalo real. Portanto, a resposta é que a equação tem solução única em qualquer intervalo \(I \subset \mathbb{R}\).