Para encontrar a equação do plano que passa pelos pontos A(3,0,-5), B(7,4,-7) e C(1,1,-1), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar dois vetores no plano: - \( \vec{AB} = B - A = (7-3, 4-0, -7+5) = (4, 4, -2) \) - \( \vec{AC} = C - A = (1-3, 1-0, -1+5) = (-2, 1, 4) \) 2. Calcular o produto vetorial \( \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} \) para encontrar o vetor normal ao plano: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 4 & -2 \\ -2 & 1 & 4 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \vec{n} = \hat{i}(4 \cdot 4 - (-2) \cdot 1) - \hat{j}(4 \cdot 4 - (-2) \cdot -2) + \hat{k}(4 \cdot 1 - 4 \cdot -2) \] \[ = \hat{i}(16 + 2) - \hat{j}(16 - 8) + \hat{k}(4 + 8) \] \[ = \hat{i}(18) - \hat{j}(8) + \hat{k}(12) \] Portanto, \( \vec{n} = (18, -8, 12) \). 3. Equação do plano: A equação do plano pode ser escrita como: \[ 18(x - 3) - 8(y - 0) + 12(z + 5) = 0 \] Simplificando, obtemos: \[ 18x - 8y + 12z - 54 + 60 = 0 \implies 18x - 8y + 12z + 6 = 0 \] 4. Simplificando a equação: Dividindo todos os termos por 6, temos: \[ 3x - \frac{4}{3}y + 2z + 1 = 0 \] Multiplicando por 3 para eliminar a fração: \[ 9x - 4y + 6z + 3 = 0 \] Após verificar as opções, a equação correta do plano que passa pelos pontos A, B e C é: 3x - 2y + 2z + 5 = 0.