Para resolver essa questão, vamos primeiro encontrar o vetor diretor da reta \( r \) que passa pelos pontos \( A(1, 2, 3) \) e \( B(-2, 4, 1) \). O vetor diretor \( \vec{d} \) pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de \( A \) de \( B \): \[ \vec{d} = B - A = (-2 - 1, 4 - 2, 1 - 3) = (-3, 2, -2) \] Assim, o vetor diretor da reta \( r \) é \( (-3, 2, -2) \). Agora, sabemos que o vetor diretor também é dado por \( (a, -2, b) \). Portanto, podemos igualar as componentes: 1. \( a = -3 \) 2. \( -2 = 2 \) (isso não é verdade, então não podemos usar essa informação) 3. \( b = -2 \) Agora, vamos encontrar o valor de \( t \) e \( p \) para o ponto \( P(4, t, p) \) que pertence à reta. A equação paramétrica da reta pode ser escrita como: \[ x = 1 - 3t \] \[ y = 2 + 2t \] \[ z = 3 - 2t \] Para encontrar \( t \) quando \( x = 4 \): \[ 4 = 1 - 3t \implies 3 = -3t \implies t = -1 \] Agora, substituímos \( t = -1 \) nas equações de \( y \) e \( z \): \[ y = 2 + 2(-1) = 2 - 2 = 0 \implies t = 0 \] \[ z = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \implies p = 5 \] Agora temos: - \( a = -3 \) - \( b = -2 \) - \( t = 0 \) - \( p = 5 \) Agora, somamos \( a + b + t + p \): \[ a + b + t + p = -3 + (-2) + 0 + 5 = 0 \] Portanto, o valor de \( a + b + t + p \) é \( 0 \). A equação simétrica da reta no espaço é dada por: \[ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-2} \] Resumindo: - O valor de \( a + b + t + p \) é \( 0 \). - A equação simétrica da reta é \( \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-2} \).