Vamos resolver passo a passo. Dada a função: \[ f(x,y,z) = x^3 y - z^4 y^2 \] com as variáveis: \[ \begin{cases} x = (u+1) e^{v-1} \\ y = u + 2v \\ z = v \cos u \end{cases} \] Queremos calcular a derivada parcial de \( f \) em relação a \( v \), ou seja, \(\frac{\partial f}{\partial v}\), no ponto \( u=0 \) e \( v=1 \). --- ### Passo 1: Calcular as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x, y, z \) \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x^3 - 2 z^4 y \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} = -4 z^3 y^2 \] --- ### Passo 2: Calcular as derivadas parciais de \( x, y, z \) em relação a \( v \) \[ \frac{\partial x}{\partial v} = (u+1) e^{v-1} \] \[ \frac{\partial y}{\partial v} = 2 \] \[ \frac{\partial z}{\partial v} = \cos u \] --- ### Passo 3: Avaliar \( x, y, z \) no ponto \( u=0, v=1 \) \[ x = (0+1) e^{1-1} = 1 \times e^0 = 1 \] \[ y = 0 + 2 \times 1 = 2 \] \[ z = 1 \times \cos 0 = 1 \times 1 = 1 \] --- ### Passo 4: Avaliar as derivadas parciais de \( x, y, z \) em relação a \( v \) no ponto \[ \frac{\partial x}{\partial v} = (0+1) e^{1-1} = 1 \times 1 = 1 \] \[ \frac{\partial y}{\partial v} = 2 \] \[ \frac{\partial z}{\partial v} = \cos 0 = 1 \] --- ### Passo 5: Avaliar as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x, y, z \) no ponto \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3 \times 1^2 \times 2 = 6 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 1^3 - 2 \times 1^4 \times 2 = 1 - 4 = -3 \] \[ \frac{\partial f}{\partial z} = -4 \times 1^3 \times 2^2 = -4 \times 1 \times 4 = -16 \] --- ### Passo 6: Aplicar a regra da cadeia para \(\frac{\partial f}{\partial v}\) \[ \frac{\partial f}{\partial v} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v} \] Substituindo os valores: \[ = 6 \times 1 + (-3) \times 2 + (-16) \times 1 = 6 - 6 - 16 = -16 \] --- ### Resposta final: \[ \boxed{ \frac{\partial f}{\partial v}(0,1) = -16 } \]