Vamos analisar a primeira parte da sua pergunta, que é sobre a função f(z,y), diferenciável no ponto (1,2), com: - \( f_x(1,2) = -1 \) - A derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor \( \vec{v} = (1,1) \) é igual a 1. Queremos encontrar \( f_y(1,2) \). Passo a passo: 1. A derivada direcional de f na direção do vetor unitário \( \vec{u} \) é dada por: \[ D_{\vec{u}} f = \nabla f \cdot \vec{u} = f_x u_x + f_y u_y \] 2. O vetor dado é \( \vec{v} = (1,1) \). O vetor unitário na direção de \( \vec{v} \) é: \[ \vec{u} = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} (1,1) = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \] 3. Sabemos que: \[ D_{\vec{u}} f = 1 \] \[ f_x(1,2) = -1 \] 4. Substituindo: \[ 1 = f_x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + f_y \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{f_y}{\sqrt{2}} \] 5. Multiplicando ambos os lados por \(\sqrt{2}\): \[ \sqrt{2} = -1 + f_y \] 6. Isolando \( f_y \): \[ f_y = \sqrt{2} + 1 \] Portanto, o valor de \( f_y(1,2) \) é \( 1 + \sqrt{2} \). A alternativa correta é: a) 1 + \(\sqrt{2}\).