Determine o valor da integral Jiv 3(=+ y) dadydz, onde V é o sólido contido na interseção do cilindro 2+3=1e0≤×≤2 com as regiões =≥0ey ≥0.

Vamos resolver a integral tripla \( \iiint_V (x + y) \, dV \), onde \( V \) é o sólido definido pela interseção do cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \), com \( 0 \leq x \leq 2 \), \( y \geq 0 \) e \( z \geq 0 \). Passo 1: Entender a região \( V \) - O cilindro \( x^2 + y^2 = 1 \) é um cilindro circular de raio 1 ao longo do eixo \( z \). - A condição \( 0 \leq x \leq 2 \) restringe \( x \) entre 0 e 1, pois o cilindro tem raio 1 (logo \( x \) não pode ser maior que 1 dentro do cilindro). - \( y \geq 0 \) limita a região à metade superior do círculo (semicírculo superior). - \( z \geq 0 \) indica que o sólido está acima do plano \( z=0 \). - Não foi dada uma restrição para \( z \), então assumimos que \( z \) varia de 0 até um valor \( h \) (não informado). Se não houver limite superior para \( z \), a integral pode ser indefinida. Suponhamos que \( z \) varia de 0 a \( h \). Passo 2: Definir os limites de integração - Para \( z \): \( 0 \leq z \leq h \) (altura do sólido). - Para \( y \): para cada \( x \), \( y \) varia de 0 até \( \sqrt{1 - x^2} \) (metade superior do círculo). - Para \( x \): de 0 até 1 (raio do cilindro). Passo 3: Montar a integral \[ J = \int_{z=0}^h \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{\sqrt{1 - x^2}} (x + y) \, dy \, dx \, dz \] Passo 4: Calcular a integral interna (em \( y \)) \[ \int_0^{\sqrt{1 - x^2}} (x + y) dy = \int_0^{\sqrt{1 - x^2}} x \, dy + \int_0^{\sqrt{1 - x^2}} y \, dy = x \sqrt{1 - x^2} + \frac{(1 - x^2)}{2} \] Passo 5: Calcular a integral em \( x \) \[ \int_0^1 \left( x \sqrt{1 - x^2} + \frac{1 - x^2}{2} \right) dx = \int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx + \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - x^2) dx \] - Para \( \int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx \), faça a substituição \( u = 1 - x^2 \Rightarrow du = -2x dx \Rightarrow -\frac{1}{2} du = x dx \): \[ \int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx = -\frac{1}{2} \int_{u=1}^{0} u^{1/2} du = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_0^1 = \frac{1}{3} \] - Para \( \frac{1}{2} \int_0^1 (1 - x^2) dx \): \[ \frac{1}{2} \left( \int_0^1 1 dx - \int_0^1 x^2 dx \right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] Passo 6: Somar os resultados da integral em \( x \) \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Passo 7: Calcular a integral em \( z \) \[ \int_0^h \frac{2}{3} dz = \frac{2}{3} h \] --- Resposta final: \[ J = \frac{2}{3} h \] Se a altura \( h \) do sólido não for especificada, a integral depende de \( h \). Caso o sólido seja limitado por algum plano \( z = h \), esse é o valor da integral.