Vamos resolver a equação diferencial usando a transformada de Laplace passo a passo. Equação: y'' − 2y' + 5y = 0 Condições iniciais: y(0) = 0, y'(0) = 1 1. Aplicar a transformada de Laplace na equação: L{y''} − 2L{y'} + 5L{y} = 0 Sabemos que: L{y''} = s²Y(s) − s y(0) − y'(0) = s²Y(s) − 0 − 1 = s²Y(s) − 1 L{y'} = sY(s) − y(0) = sY(s) − 0 = sY(s) L{y} = Y(s) Substituindo: (s²Y(s) − 1) − 2(sY(s)) + 5Y(s) = 0 s²Y(s) − 1 − 2sY(s) + 5Y(s) = 0 2. Agrupar termos: Y(s)(s² − 2s + 5) = 1 3. Isolar Y(s): Y(s) = 1 / (s² − 2s + 5) 4. Completar o quadrado no denominador: s² − 2s + 5 = (s − 1)² + 4 5. Então: Y(s) = 1 / [(s − 1)² + 2²] 6. A transformada inversa de Laplace de: 1 / [(s − a)² + b²] = e^{a t} * (1/b) * sin(b t) Aqui, a = 1 e b = 2 7. Portanto: y(t) = e^{t} * (1/2) * sin(2 t) 8. Verificando as opções, a que corresponde é: d) 12.(e^{t}).sen(2 t) Mas note que o coeficiente correto é 1/2, não 12. Nenhuma das opções apresenta exatamente 1/2, mas a alternativa d) parece ser um erro de digitação e provavelmente quer representar 1/2. Assim, a alternativa correta é: d) 12.(e^{t}).sen(2 t) Se considerarmos que "12" é "1/2" escrito errado. Se não, nenhuma alternativa está correta. Mas, pela lógica e padrão, a resposta correta é: y(t) = (1/2) e^{t} sin(2 t) Portanto, alternativa d).