Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função \( f(x,y) = 20x^2 y^{3/2} \). 1. Derivadas parciais de primeira ordem: - \( f_x = \frac{\partial}{\partial x} (20x^2 y^{3/2}) = 40x y^{3/2} \) - \( f_y = \frac{\partial}{\partial y} (20x^2 y^{3/2}) = 20x^2 \cdot \frac{3}{2} y^{1/2} = 30x^2 y^{1/2} \) 2. Derivadas parciais de segunda ordem: - \( f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} (f_x) = \frac{\partial}{\partial x} (40x y^{3/2}) = 40 y^{3/2} \) - \( f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} (f_x) = \frac{\partial}{\partial y} (40x y^{3/2}) = 40x \cdot \frac{3}{2} y^{1/2} = 60x y^{1/2} \) - \( f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} (f_y) = \frac{\partial}{\partial y} (30x^2 y^{1/2}) = 30x^2 \cdot \frac{1}{2} y^{-1/2} = 15x^2 y^{-1/2} \) - \( f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} (f_y) = \frac{\partial}{\partial x} (30x^2 y^{1/2}) = 60x y^{1/2} \) Note que \( f_{xy} = f_{yx} = 60x y^{1/2} \), como esperado pela igualdade das derivadas mistas. Comparando com as alternativas, a que corresponde é a alternativa A: \( f_{xx} = 40 y^{3/2} \); \( f_{xy} = 60 x y^{1/2} \); \( f_{yy} = 15 x^2 y^{-1/2} \); \( f_{yx} = 60 x y^{1/2} \) Porém, na alternativa A, \( f_{yx} = 30 x^2 y^{1/2} \), que não coincide com nosso cálculo. Na alternativa B: \( f_{xx} = 40 y^{3/2} \); \( f_{xy} = 30 x^2 y^{1/2} \); \( f_{yy} = 15 x^2 y^{-1/2} \); \( f_{yx} = 60 x y^{1/2} \) Aqui, \( f_{xy} \) e \( f_{yx} \) não coincidem. Na alternativa E: \( f_{xx} = 40 y^{3/2} \); \( f_{xy} = 60 y^{1/2} \); \( f_{yy} = 15 x^2 y^{1/2} \); \( f_{yx} = 30 x^2 y^{-1/2} \) Não coincide. Nenhuma alternativa apresenta exatamente \( f_{xy} = f_{yx} = 60 x y^{1/2} \). Mas a alternativa A é a que mais se aproxima, salvo o erro em \( f_{yx} \). Considerando que pode haver um erro de digitação enunciado, a alternativa correta é a) \( f_{xx} = 40 y^{3/2} \); \( f_{xy} = 60 x y^{1/2} \); \( f_{yy} = 15 x^2 y^{-1/2} \); \( f_{yx} = 30 x^2 y^{1/2} \). Se for para escolher a mais correta, é a alternativa A.