São dados A (3, -1), B (1, 1 ) e C (5, 5) a) Calcule o perím etro do triângulo ABC. b) Mostre que ABC é um triângulo retângulo resolva

Question

São dados  A (3, -1), B (1, 1 ) e C (5, 5)   a)  Calcule o perím etro do triângulo ABC.    b)  Mostre que ABC é um  triângulo retângulo resolva

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo:

Dados os pontos:  
A(3, -1), B(1, 1), C(5, 5)

a) Calcular o perímetro do triângulo ABC:

Primeiro, calculamos as distâncias entre os pontos (usando a fórmula da distância entre dois pontos $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$):

- AB:  
$$
\sqrt{(1 - 3)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

- BC:  
$$
\sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
$$

- AC:  
$$
\sqrt{(5 - 3)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
$$

Perímetro = AB + BC + AC = $2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{10} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}$

b) Mostrar que ABC é um triângulo retângulo:

Para isso, verificamos se o Teorema de Pitágoras é satisfeito para algum dos lados.

Calculamos os quadrados dos lados:

- $AB^2 = 8$
- $BC^2 = 32$
- $AC^2 = 40$

Verificamos se a soma de dois lados ao quadrado é igual ao terceiro:

- $AB^2 + BC^2 = 8 + 32 = 40 = AC^2$

Portanto, o triângulo ABC é retângulo, com a hipotenusa AC.

**Resposta final:**

a) Perímetro = $6\sqrt{2} + 2\sqrt{10}$  
b) ABC é um triângulo retângulo, pois $AB^2 + BC^2 = AC^2$.

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