1. Determine: (a) a derivada de f(x) = e(x^2+1)/x^3

Vamos calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{e^{x^2 + 1}}{x^3} \) passo a passo. 1. Identifique a função como uma divisão: \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), onde - \( u(x) = e^{x^2 + 1} \) - \( v(x) = x^3 \) 2. Derive \( u(x) \): \[ u'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = e^{x^2 + 1} \cdot 2x \] 3. Derive \( v(x) \): \[ v'(x) = 3x^2 \] 4. Use a regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{[v(x)]^2} \] Substituindo: \[ f'(x) = \frac{(e^{x^2 + 1} \cdot 2x) \cdot x^3 - e^{x^2 + 1} \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{2x e^{x^2 + 1} x^3 - 3x^2 e^{x^2 + 1}}{x^6} \] Simplificando o numerador: \[ 2x \cdot x^3 = 2x^4 \] Então: \[ f'(x) = \frac{2x^4 e^{x^2 + 1} - 3x^2 e^{x^2 + 1}}{x^6} = \frac{e^{x^2 + 1} (2x^4 - 3x^2)}{x^6} \] Fatorando \( x^2 \) no numerador: \[ f'(x) = \frac{e^{x^2 + 1} x^2 (2x^2 - 3)}{x^6} = e^{x^2 + 1} \cdot \frac{2x^2 - 3}{x^4} \] Resposta final: \[ \boxed{ f'(x) = e^{x^2 + 1} \cdot \frac{2x^2 - 3}{x^4} } \]