1. Determine: (c) y′ se y = g(x) é dada implicitamente por y. cos(2x) = x − y^3 + 2.

Questões Para o Saber

há 2 semanas

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Vamos resolver a derivada implícita da função dada: Equação: y · cos(2x) = x − y³ + 2 Passo 1: Derivar ambos os lados em relação a x, lembrando que y = g(x) e que y depende de x (derivada implícita). Derivada do lado esquerdo: d/dx [y · cos(2x)] = y' · cos(2x) + y · d/dx[cos(2x)] = y' · cos(2x) + y · (−sin(2x) · 2) = y' · cos(2x) − 2y · sin(2x) Derivada do lado direito: d/dx [x − y³ + 2] = 1 − 3y² · y' + 0 = 1 − 3y² y' Passo 2: Igualar as derivadas: y' · cos(2x) − 2y · sin(2x) = 1 − 3y² y' Passo 3: Isolar y': y' · cos(2x) + 3y² y' = 1 + 2y · sin(2x) y' (cos(2x) + 3y²) = 1 + 2y · sin(2x) Passo 4: y' = (1 + 2y · sin(2x)) / (cos(2x) + 3y²) Resposta: \[ \boxed{ y' = \frac{1 + 2y \sin(2x)}{\cos(2x) + 3y^2} } \]

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2. Dois lados de um triângulo têm comprimento de 2 e 4 metros e o ângulo θ entre eles está aumentando a uma taxa de 1/20 rad/min.
A que taxa o comprimento do terceiro lado estará aumentando quando o ângulo θ entre os lados de comprimento fixo for π/3 rad? Use que cos(π/3) = 1/2 e sen(π/3) = √3/2.

3. Uma caixa de papelão de base quadrada sem tampa deve ter um volume de 4000 cm³.
Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão (em cm²) usado na fabricação da caixa, justificando sua resposta.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(a) obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento de f, indicando, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo locais.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(b) obtenha os intervalos em que f tem concavidade para cima e em que f tem concavidade para baixo.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(c) obtenha lim x→−∞ f(x), lim x→0− f(x), lim x→0+ f(x), lim x→∞ f(x).

Cálculo

1. Determine: (c) y′ se y = g(x) é dada implicitamente por y. cos(2x) = x − y^3 + 2.

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1. Determine:
(a) a derivada de f(x) = e(x^2+1)/x^3

1. Determine:
(b) lim x→1 (ln x) / (sen (πx))

3. Uma caixa de papelão de base quadrada sem tampa deve ter um volume de 4000 cm³.
Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão (em cm²) usado na fabricação da caixa, justificando sua resposta.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(a) obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento de f, indicando, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo locais.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(b) obtenha os intervalos em que f tem concavidade para cima e em que f tem concavidade para baixo.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(c) obtenha lim x→−∞ f(x), lim x→0− f(x), lim x→0+ f(x), lim x→∞ f(x).

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1. Determine:(a) a derivada de f(x) = e(x^2+1)/x^3

1. Determine:(b) lim x→1 (ln x) / (sen (πx))

3. Uma caixa de papelão de base quadrada sem tampa deve ter um volume de 4000 cm³.Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão (em cm²) usado na fabricação da caixa, justificando sua resposta.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³(a) obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento de f, indicando, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo locais.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³(b) obtenha os intervalos em que f tem concavidade para cima e em que f tem concavidade para baixo.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³(c) obtenha lim x→−∞ f(x), lim x→0− f(x), lim x→0+ f(x), lim x→∞ f(x).

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(a) a derivada de f(x) = e(x^2+1)/x^3

1. Determine:
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Determine as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de papelão (em cm²) usado na fabricação da caixa, justificando sua resposta.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(a) obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento de f, indicando, caso existam, seus pontos de máximo e de mínimo locais.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(b) obtenha os intervalos em que f tem concavidade para cima e em que f tem concavidade para baixo.

4. Dada a função f(x) = e^x / x e suas derivadas f′(x) = e^x (x−1) / x² e f′′(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³
(c) obtenha lim x→−∞ f(x), lim x→0− f(x), lim x→0+ f(x), lim x→∞ f(x).