Vamos resolver passo a passo. Dados: - Dois lados fixos: \( a = 2 \) m e \( b = 4 \) m - Ângulo entre eles: \( \theta \), que está aumentando a uma taxa de \( \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{20} \) rad/min - Queremos a taxa de variação do terceiro lado \( c \) quando \( \theta = \frac{\pi}{3} \) - \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \), \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) --- Passo 1: Expressar \( c \) em função de \( \theta \) usando a Lei dos Cossenos \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \] \[ c^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \times 2 \times 4 \cos \theta = 4 + 16 - 16 \cos \theta = 20 - 16 \cos \theta \] --- Passo 2: Derivar ambos os lados em relação ao tempo \( t \) \[ 2c \frac{dc}{dt} = -16 (-\sin \theta) \frac{d\theta}{dt} = 16 \sin \theta \frac{d\theta}{dt} \] --- Passo 3: Isolar \( \frac{dc}{dt} \) \[ \frac{dc}{dt} = \frac{16 \sin \theta}{2c} \frac{d\theta}{dt} = \frac{8 \sin \theta}{c} \frac{d\theta}{dt} \] --- Passo 4: Calcular \( c \) para \( \theta = \frac{\pi}{3} \) \[ c^2 = 20 - 16 \times \frac{1}{2} = 20 - 8 = 12 \implies c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \] --- Passo 5: Substituir valores para encontrar \( \frac{dc}{dt} \) \[ \frac{dc}{dt} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} \times \frac{1}{20} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} \times \frac{1}{20} \] Simplificando: \[ \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \] Então: \[ \frac{dc}{dt} = 2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10} \text{ m/min} \] --- Resposta final: O comprimento do terceiro lado está aumentando a uma taxa de \(\boxed{\frac{1}{10} \text{ metros por minuto}}\) quando \(\theta = \frac{\pi}{3}\).